使用罗比达法则地解法探讨.doc

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1、2011届本科毕业论文(设计)题目：使用罗比达法则的解法探讨学院：数学科学学院专业班级：数学07实验班学生：阿布都克尤木.阿布都热衣木指导教师：哈米旦.库尔班答辩日期：2011年5月12日师大学教务处目录引言41使用罗比达法则的推广42罗比达法则的解题技巧42.1罗比达法则的一般解题技巧42.2罗比达法则在特殊问题上的应用5总结8参考文献8致9使用罗比达法则的解法探讨摘要：用导数为工具解不定式的方法称为罗比达法则。罗比达法则是求极限的一种适用方法，在解决某些求极限问题时，可以加快解题的速度。关键词：罗比达法则；解题方法Usingthemethodofla

2、wrobbiediscussedAbstract：Asagoodruleinseekinglimit,LHospitalsrulecanspeedupthesolutionofaquestion.Keywords：LHospitalsrule;solution使用罗比达法则的解法探讨引言罗比达法则：用导数为工具解不定式的方法称为罗比达法则。定理：如果函数，满足如下条件（1）==0；（2）在点a的去心邻域两者都可导且；（3）=A，则：==A注意若定理中换成，，，，只要相应地修正条件（2）中的领域，也可以得到同样的结论。此定理称为罗比达法则，是处理“0/0”

3、或“∞/∞”型极限的重要方法。有了以上的知识基础，在一般符合罗比达条件的极限问题解决起来会很方便。2罗比达法则的解题技巧2.1罗比达法则的一般解题技巧利用罗比达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一。一，在解题中应注意：（1）在着手求极限以前，首先要检查是否满足“0/0”或“∞/∞”型，否则滥用罗比达法则会出错。当存在时（不包括∞情形），就不能用罗比达法则，这时称罗比达法则失效，应从另外途径求极限，比如利用泰勒公式求解。（2）罗比达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。（3）罗比达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用罗比达法则，往往计算会十分繁琐，

4、因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价无穷小替换等等。（4）有其它的极限类型，如“，∞/∞，0°，1∞，”，都可以变化为“0/0”或“∞/∞”型，只要熟悉这两种类型的解法，就一劳永逸了。例1求解分析：这是一道“0/0”型的题目，可以分子分母约去零因子（x－1），化简求解，用罗比达法则这样求解：解：原式求导运算将表达式化得很简单，解题越变越容易。定理2若函数和满足：（1）==；（2）在的某右领域两者都可导，且；（3）=A(A可为实数，也可为，)，则==A。例2求分析：这是一道“∞/∞”型的问题，等价代换的

5、方法都用不了，这时考虑使用罗比达法则。解：原式=====3对于一般的极限题目，熟练掌握这些技巧，往往都能解决，但也要避免一些常犯的错误。例3求解错解：原式=不存在（非∞）这并不表明结果就是极限不存在，当遇到这样的情况时，说明罗比达法则失效了。正解：原式=xsin=10=0注1若不存在，并不能说明不存在注2不能对任何比式极限都按罗比达法则求解。首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足罗比达法则的其他条件。下面这个简单的极限=1虽然是型，但若不顾条件随便使用罗比达法则：=就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论。2.2罗比达法则在特殊问题上的应

6、用（1）如一些形如导数概念的问题，用罗比达法则很容易求解。例4若f(x)在x=a可导，求分析：像这样的形如导数的概念定义的问题，一般按照定义就可以求解。解：原式==-=-==若是用罗比达法则，可以比较一下原式是“0/0”型+是不是方便很多呢？当然这题还可以用泰勒展式来处理，也可以比较一下=++=++代入原式=对比一下这三种方法，罗比达法则是最容易和行之有效的方法了。例5若f(x)在a处二阶连续可导，求：解：此极限也形如导数的定义，但若是用上题的第一种方法，则行不通，用罗比达法则解之：原式=当然，这题还可以用泰勒展式来处理=+++=-++代入原式得=泰勒展

7、式固然解题时很受用，但笔者认为罗比达法则还是更好一点。说明：以上2个问题虽然都可以用罗比达法则和泰勒展式来解决，但泰勒展式的方法不太容易想到，而“0/0”的极限问题更容易联想到罗比达法则，过程也相当简单，容易计算。（2）若分子分母含变限积分的问题，一般用罗比达法则。例6分析：当极限运算中含有变限积分时，第一想法就是罗比达法则，在运算之前简单的判断一下它是否符合罗比达法则的条件（是“0/0”或“∞/∞”就可以了，其它条件的判断就看运用方法之后的结果）。解：原式==注：此题中运用了变限积分的求导原理，即=f=f*-f*例7求分析：此问题和例6非常相似，都具备

8、了“0/0”和变限积分，用罗比达法则处理之。解：原式=2=2；总结：(1)存在极