导数极难压轴题解法罗比达法则.doc

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1、导数极难压轴题解法：罗比达法则应用★★★★(2010年全国新课标理)设函数。若，求的单调区间；若当时，求的取值范围原解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，当时，，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。

2、★★★★(2011年高考新课标数学理科22)已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．解（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，．（Ⅱ由（Ⅰ）知，所以。考虑函数，则。（i）设，由知，当时，，h（x）递减。而故当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设00,故（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x

3、）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]★★★★解法：（2）由（1）知．故要证：只需证为去分母，故分x>1与01时，需证即即需证．（1）设，则由x>1得，所以在（1，+）上为减函数．又因g（1）=0所以当x>1时g（x）<0即（1）式成立．同理0

4、证，知要证不等式成立．点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算．★★★★罗比达法则方法★★★★原解：略原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。令g(x)=(),则，再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0在上为增函数=0当时，，当x（1，+）时，当时，，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数由洛必达法则知，即k的取值范围为（-，0]规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离

5、出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。★★★★(2012)郑州第一次质量检测21.解：（I）当p=1时，，其定义域为.所以.…………2分由得，所以的单调增区间为；单调减区间为.…………5分（II）由函数,得.由（I）知，当p=1时，，即不等式成立.…………7分①当时，，即g(x)在上单调递减，从而满足题意；…………9分②当时，存在使得，从而，即g(x)在上单调递增，从而存在使得不满足题意；③当时，由知恒成立，此时不满足题意.综上所述，实数p的取值范围为.…………12分解法二:二次求导分离变量型由函数,

6、得.由（I）知，当p=1时，，即不等式成立.因而，要使g(x）《0成立，只需，分离变量，再二次求导，即可得。解法三：直接分离变量，然后罗比达法则求出最值即可★★★★设函数f(x)=ln(x—1)+2a/x(aR)(1)求函数f(x)的单调区间。（2）如果当，恒成立，则求实数a的取值范围。解：（1），对分子讨论，①当，即，在（1，+）上增函数。②当a0,对称轴x=a0,f~(1)=1>0,增函数。③当a>2时，在（1,x1）是增函数，在（x1,x2）是减函数，在（x2,+）是增函数可得结论：当（2）方法一：利用第一问结论构造函数。转化为，令h(x)=f

7、(x)-a,利用第一问结论可知①a2时，h(x)在（1，+）是增函数，因为12时，h(x)>h（2）=0成立，所以当a2时，原式成立。②当a>2时，因为f（x）在（x1,2）是减函数，所以，h(x)在（x1,2）是减函数，所以当x1h(2)=0不成立。综上可知，a的取值范围是（－，2].方法二：分离变量，罗比达法则a<,=（去掉分子中的分母）=；令分子为h(x)=(2-2x)ln(x-1)+x2-2x..二次取导。。令R(x)=.则。R~(x)在（1,2）负，在（2，+无穷）

8、上正；所以，h(x)在（1,2）减，在（2，+无穷）上增，且h(2)=0，所以h(x)>0g~(x)>0，而