导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

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1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步,由不等式恒成立来求参数的取值范围问题,分析难度大,但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介:法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)及;  (2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0;  (3),那么=。法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)及;  (2),f(x)和g(x)在与上可导,且g'(x)≠0;  (3),那么=。法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件:(1)及; 

2、 (2)在点a的去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0;  (3),那么=。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:将上面公式中的x→a,x→∞换成x→+∞,x→-∞,,洛必达法则也成立。洛必达法则可处理,,,,,,型。在着手求极限以前,首先要检查是否满足,,,,,,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数。(1

3、)若,求的单调区间;(2)若当时,求的取值范围原解:(1)时,,.当时,;当时,.故在单调减少,在单调增加(II)由(I)知,当且仅当时等号成立.故,从而当,即时,,而,于是当时,.由可得.从而当时,,故当时,,而,于是当时,.综合得的取值范围为原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解:(II)当时,,对任意实数a,均在;当时,等价于令(x>0),则,令,则,,知在上为增函数,;知在上为增函数,;,g(x)在上为增函数。由洛必达法则知,,故综上,知a的取值范围为。2.(2011年全国新课标理)已知函数,曲线在点处

4、的切线方程为。(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。原解:(Ⅰ)由于直线的斜率为,且过点,故即解得,。(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以。考虑函数,则。(i)设,由知,当时,,h(x)递减。而故当时,,可得;当x(1,+)时,h(x)<0,可得h(x)>0从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.(ii)设00,故(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。(iii)设k1.

5、此时,(x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。综合得,k的取值范围为(-,0]原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解:(II)由题设可得,当时,k<恒成立。令g(x)=(),则,再令(),则,,易知在上为增函数,且;故当时,,当x(1,+)时,;在上为减函数,在上为增函数;故>=0在上为增函数=0当时,,当x(1,+)时,当时,,当x(1,+)时,在上为减函数,在上为增函数由洛必达法则知,即k的取值范围为(-,0]规律总结:对恒成立问题中的求参数取值范围,参

6、数与变量分离较易理解,但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦,利用洛必达法则可以较好的处理它的最值,是一种值得借鉴的方法。

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