导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

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1、设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．解析：解法1：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，对函数g(x)求导数：g′(x)=ln(x+1)+1-a，令g′(x)=0，解得x=ea-1-1.(1)当a≤1时，对所有x＞0,g′(x)＞0,所以g(x)在［0，+∞)上是增函数.又g(0)=0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0),即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea-1-1，g′(x)＜0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是

2、减函数.又g(0)=0，所以对0＜x＜ea-1-1，有g(x)＜g(0)，即f(x)＜ax.所以当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立.综上a的取值范围是(-∞,1］.解法2：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.对g(x)求导数得g′(x)=ln(x+1)+1-a,令g′(x)=0，解得x=ea-1-1,当x＞ea-1-1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当-1＜x＜ea-1-1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数.要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要

3、条件为ea-1-1≤0.由此得a≤1，即a的取值范围是(-∞,1].1.其中；2.其中；3.其中；4.其中；已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.（Ⅰ）略解得，.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法由（Ⅰ）知，所以.考虑函数，则.(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，，可得；当时，，可得，从而当且时，，即；（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.（iii）当时，，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.当，且时，，即，也即，记，，且则，记，则，从而在上

4、单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.设函数.（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当时，，即.①当时，；②当时，等价于.记，则.记，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.若不等式对于恒成立，求的取值范围.应用洛必达法则和导数当时，原不等式等

5、价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，，即有.故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：①可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；②现“”型式子.2010海南宁夏文（21）已知函数.（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以

6、，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.2010全国大纲理（22）设函数.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数由题设，此时.①当时，若，则，不成立；②当时，当时，，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，即有，所以.综上所述，的取值范围是.设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）．当（）时，，即；当（

7、）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．（Ⅱ）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即则.记，因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，而.另一方面，当时，，因此.