已用 32立体几何中的向量方法（二）课件.ppt

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1、3.2.2空间距离的计算思考题：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解:如图1,不妨设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离转化为点面距离来求尝试：∴所求的距离是变形：晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(设棱长为1)几何法较难,如何用向量知识求点到平面的距离?几何分析加向量运算妙!妙!妙!能否用法向量

2、运算求解呢?可证得（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（回到图形）一、点到平面的距离DABCGFExyzDABCGFExyzAPDCBMN解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)DMPN

3、AxCBzy例2：如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD化为向量问题进行向量运算回到图形问题例3：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3回到图形问题库底与水坝所成二面角的余

4、弦值为二、异面直线的距离zxyABCC1即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1练习:已知正方体的棱长是1，则直线与间的距离.课外练习:正三棱柱中，D是AC的中点,当时，求二面角的余弦值..CADBC1B1A1解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设底面三角形的边长为a，侧棱长为b则C(0,0,0),故由于,所以∴yxzCADBC1B1A1在坐标平面yoz中∵设面的一个法向量为可取＝（1，0，0）为面的法向量∴