32 立体几何中的向量方法（2）

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1、3.2立体几何中的向量方法（二）一、复习二、讲授新课1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）2、例题例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么(1)以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设

2、化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。（2）晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离回归图形点面距离向量的模解：∴所求的距离是变式训练:如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。OABCDE图2例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：

3、如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为变式训练:已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个面夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。课后练习：（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，

4、已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。B图4ACD（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1图5DE小结：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。面面距离回归图形点面距离向量的模二面角平面角向量的夹角回归图形