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1、立体几何中的向量方法1以单位正方体的顶点O为原点,分别以射线OA，OC，的方向为正方向,以线段OA,OC,的长为单位长度,建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系。一、空间直角坐标系：yxzABCO点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、和zox平面．2oxyz1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴．135013502.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半．空间直角坐标系的画法：34z1xy1练1请你作一个空间直角坐标
2、系，并在空间直角坐标系中，作出点（5，4，6）（5，4，6）O546变式在空间直角坐标系中， 作出点（-5，4，6）5练习2、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，
3、OA
4、=3，
5、OC
6、=4，
7、OD`
8、=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点C，B`，P的坐标.zxyOACD`BA`B`C`PP`3436练习zxyABCOA`D`C`B`QQ`3、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.7若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A
9、B=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.二、空间向量的坐标表示8练1：在空间直角坐标系中，已知A=（2，1，3），B=（1，—2，5），则练2：在空间直角坐标系中，已知A=（2，x，y），则B=________910三、空间向量的数量积运算四.空间共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使11练1：在空间直角坐标系中，已知练2：在空间直角坐标系中，已知1213五、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公
10、式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。14练1：在空间直角坐标系中，已知1516在空间直角坐标系中，已知 、，则（2）空间两点间的距离公式172.两个向量夹角公式注意：（1）当 时， 同向；（2）当 时， 反向；（3）当 时， 。18练1：在空间直角坐标系中，已知求 与 所成的角的余弦值.19练2如图,在正方体 中，，求 与 所成的角的余弦值.20213.2.1立体几何中的向量方法——方向向量与法向量22lAP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向
11、量一、方向向量与法向量232、平面的法向量AlP平面α的向量式方程换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量24oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)2526令x、y、z中某个为定值27练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建
12、立空间直角坐标系.XYZ设平面EDB的法向量为28如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB=2，AD⊥DC，AB∥DC.求平面A1BD的一个法向量29因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决立体问题30
