专题12 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-2017年高考数学培优系列(教师版).doc

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1、专题二压轴填空题第五关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等.对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了

2、“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一几何体在变化过程中体积的最值问题典例1【2017河北衡水中学四调】在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A．36B．C.D．【答案】A【名师指点】在运动变化过程中，当变量达到某一个特殊位置时，要所求的变量的最值达到.这就要求看准变化中的临界点，从而确定最值.欲使三棱锥体积的最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P运动轨迹，进而判断高的最大值，空间问题平面化是解题关键．

3、【举一反三】表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若,则棱锥体积的最大值为．【答案】27【解析】因为表面积为的球，所以球的半径为，设的中心为D，则，所以，则，棱锥S-ABC的底面积为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面平面，所以S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，所以．类型二几何体的外接球或者内切球问题典例2【2017辽宁庄河市高三月考】已知长方体的外接球的体积为，其中，则三棱锥的体积的最大值为（）A.1B.3C.2D.4【答案】A【名师指点】本题以长方体的

4、外接球的体积为背景,考查的是三棱锥的外接球的体积的计算及灵活运用基本不等式求最大值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件解出,借助长方体的对角线就是球的直径,建立等式,然后再利用基本不等式求出三棱锥的体积,使得问题获解.【举一反三】在三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球的表面积为．【答案】【解析】因为利用余弦定理得，所以,所以又因为平面所以三棱锥是长为，宽为，高为的长方体的一部分（如图所示）所以三棱锥外接球的半径为所以其外接球的表面积为故答案为类型三立体几何与函数的结合典例3.【2017福建厦门双十中学期中】如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点

5、，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（）【答案】B【解析】试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.（1）当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为，且为函数的最大值；（2）当时，以为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当时，以为球心，为半径作一个球，其弧长为，且为函数的最大值，对照选项可得B正确.学科网【名师指点】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（

6、1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.【举一反三】如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、分别交于两点，设，，给出以下四个结论：①平面平面；②直线∥平面始终成立；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常数；以上结论正确的是___________．【答案】①②④【精选名校模拟】1．【2017湖南长沙雅礼中学月考】如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到

7、的两段弧长之和等于（）A．B．C.D．【答案】A【解析】如图，球面于正方体的两个面都相交，所得的交线分别为两类，一类在顶点所在的是三个面上，即、面和面上，另一类在不过顶点的三个面上，即、面和面上，在面上，交线为弧且过球心的大圆上，因为，则，同理，所以，所以弧的长为，而这样的弧共有三条，在面上，交线为弧且在距离球心为的平面上与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以，所以弧的长为，于是所得曲线的长为，故选A.2.在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面内一点，定义，其中分别是三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积，若，