不等式与线性规划重点剖析.doc

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1、不等式与线性规划重点、难点、易错点分析一、不等式的概念与性质1、由基本性质比较大小、证明不等式（1）作差（2）作商（3）分析比较（4）取平方（5）分子或分母有理化（6）图像（7）单调性2、根据均值不等式比较大小、证明不等式二、范围问题1、解方程法2、待定系数法3、确定平面区域法三、利用均值不等式求值域与最值1、凑项法2、凑系数法3、分离系数4、换元法5、双勾曲线6、整体代换7、取平方四、解不等式1、一元二次不等式2、含参不等式（分类讨论）3、分式不等式（分式化整式）4、高次不等式（穿根法）5、绝对值不等式（1）分段讨论（2）数形结合（3）取平方五、不等式成立问题1

2、、恒成立问题2、能成立问题3、恰成立问题六、不等式的实际应用1、基本不等式在实际应用题中的应用2、二次不等式解集的简单应用3、一元二次不等式在实际中的应用4、均值不等式的应用七、二元一次方程组与线性规划1、求线性目标函数的取值范围2、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题3、已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题4、已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题5、求线性目标函数中所含参数的取值范围6、已知最优解，探求目标函数参数问题7、已知最优解，探求约束条件函数参数问题8、求可行域中整点个数（1)平移找解法（2)整点调整法（3）逐一检验法9、求非线性目标函数

3、的最值10、比值问题八、线性规划实际应用题型：一、不等式的概念与性质1、比较大小（1）作差法例1：已知-1y，求证：（2）利用均值不等式证明不等式例1．已

4、知为两两不相等的实数，求证：例2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例3.已知a、b、c，且。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。二、范围问题例1：设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1）≤2,3≤f(1）≤4，求f(-2）的取值范围。【分析】此题有三种解法：①利用解方程的思想②待定系数法③确定平面区域例2：（1）已知-π/2≤ɑ＜β≤π/2，求的取值范围（2）已

5、知-1

6、到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。解：∵∴∴当且仅当即时等号成立。技巧三：分离例3.求的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用

7、最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）（2）(3)2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。1：已知，且，求的最小值。错解：，且，故。错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用

8、均值不等式