人教A版高中数学选修2-1同步检测：第二章2.4-2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用.doc

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1、第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用A级　基础巩固一、选择题1．若抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点为F，准线为l，则p表示(　　)A．点F到y轴的距离B．点F到准线l的距离C．点F的横坐标D．点F到抛物线上一点的距离解析：由抛物线定义，知抛物线y2＝－4px(p＞0)的焦点到准线的距离为2p，所以p表示点F到y轴的距离．答案：A2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)A．抛物线　　　　　B．双曲线C．椭圆D．圆解析：由题意，知圆C的圆心到点(0，3)的距离比到

2、直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义，知所求轨迹是一条抛物线．答案：A3．过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：由题意，知点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．答案：B4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.答案：D5．过抛物

3、线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：由定义

4、AB

5、＝5＋2＝7，因为

6、AB

7、min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．答案：B二、填空题6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点．若△ABF为等腰直角三角形，则p＝________．解析：由题意，知△ABF的边长为2p，故点B，代入双曲线方程，得p＝2.答案：27．已知点P(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋4的最小值为________．解析

8、：z＝x2＋y2＋4＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，因为y2＝4x≥0，所以x∈[0，＋∞)，所以当x＝0时，zmin＝4.答案：48．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．答案：三、解答题9.如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大．并求出这个最大面积．解：由解得或所以A(4，4)，B(1，－2)，所以

9、AB

10、＝3.设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直

11、线AB的距离，则有d＝＝＝

12、(y0－1)2－9

13、.因为－2＜y0＜4，所以(y0－1)2－9＜0.所以d＝[9－(y0－1)2]．从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.因此，当P为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.10．已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且

14、AF

15、＝5，求抛物线的标准方程．解：因为抛物线的焦点F在x轴正半轴上，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)．因为A(m，－3)在抛物线上，且

16、AF

17、＝5，所以＝5，解得p＝1或p＝9，故抛物线的标准方程为：y2＝2x或y2＝18x.B级　能力提升1．已知直

18、线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．25解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，由题意可得直线l的方程为y＝(x－2)．由得B点的坐标为.所以

19、AB

20、＝

21、AF

22、＋

23、BF

24、＝2＋8＋2＋＝.所以AB的中点到准线的距离为.答案：A2．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．解析：因为抛物线的焦点为F(1，0)，设A，则＝，＝，由·＝－4，得y0＝±2，所以点A的坐标是(1，2)

25、或(1，－2)．答案：(1，2)或(1，－2)3．已知抛物线y2＝2x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离

26、PA

27、；(2)设点A的坐标为(a，0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出d＝f(a)的函数表达式．解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则

28、PA

29、2＝＋y2＝＋2x＝＋.因为x≥0，且在此区间上

30、PA

31、2随着x的增大而增大，所以当x＝0时，

32、PA

33、min＝，故距离点A最近的点P的坐标为(0，0)，最短距离是.(2)同(1)求得d2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－

34、1)．当a－1≥0，即a