2019年高中数学 2.4.2.2抛物线方程及性质的应用课时作业 新人教A版选修2-1

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1、2019年高中数学2.4.2.2抛物线方程及性质的应用课时作业新人教A版选修2-1一、选择题(每小题3分,共18分)1.(xx·安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有(　　)A.1条　　　B.2条　　　C.3条　　　D.4条【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1,

2、1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.(xx·桂林高二检测)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为抛物线上不同的三点,点F是△ABC的重心,O为坐标原点,△OFA,△OFB,△OFC的面积分别为S1,S2,S3,则++=(　　)A.9B.6C.3D.2【解析】选C.A,B,C在抛物线上,所以设A,B,C,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以y1+y2+y3=0,=1,所以++=12,所以++=×1×(++)=3.3.(xx·莆田高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x

3、1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为(　　)A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为A,B关于直线y=x+b对称,故kAB=-1,设AB的方程为y=-x+t,与y2=x联立,消去x得y2+y-t=0,所以y1+y2=-1,y1·y2=-t=-1,所以t=1,得x1+x2=3.由AB的中点在直线y=x+b上,所以=+b,即-=+b,得b=-2.4.(xx·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若

4、AF

5、=3

6、BF

7、,则l的方程为(　　)A.y=x-1或

8、y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.由题意,可设

9、BF

10、=x,则

11、AF

12、=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以

13、MB

14、=2x,所以直线l的倾斜角为60°或120°,即直线l的斜率为±,故选C.【一题多解】选C.抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为

15、AF

16、=3

17、BF

18、,所以x1+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2.因为

19、y1

20、=3

21、y2

22、,x1=9

23、x2,所以x1=3,x2=,当x1=3时,=12,所以此时y1=±=±2,若y1=2,则A(3,2),B,此时kAB=,直线方程为y=(x-1).若y1=-2,则A(3,-2),B,此时kAB=-,直线方程为y=-(x-1).5.已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点为,所以=2,因为A,B在抛物线y2=2px上,所以①-②得-=2p(

24、x1-x2),所以kAB===,因为kAB=1,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x,所以准线的方程为x=-1.【拓展延伸】“中点弦”处理方法当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平方差法.(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程.(2)“平方差”.将两方程作差,利用平方差公式.(3)得斜率.把x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0))代入可得,即直线的斜率.(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.6.(xx·成都高二检测)已知抛物线C的方程为x

25、2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(　　)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.∪C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-)∪(,+∞)【解析】选D.据已知可得直线AB的方程为y=x-1,联立直线与抛物线方程,得消元整理,得2x2-x+1=0,由于直线与抛物线无公共点,即方程2x2-x+1=0无解,故有Δ=-8<0,解得t>或t<-.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(xx·北京高二检测)已知直线l:y=kx+1与抛物线C:y2=x,则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的

26、　　　　　　　　　　条件.【解析】直线l与抛物线C有两个不同交点,即方程组有两组不同的实数解,等价于方程k2x2+(2k-1)x+1=0