2019年高中数学 2.4.2.1抛物线的简单几何性质课时作业 新人教A版选修2-1

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1、2019年高中数学2.4.2.1抛物线的简单几何性质课时作业新人教A版选修2-1一、选择题(每小题3分,共18分)1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为(　　)A.y2=xB.x2=3yC.x2=yD.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.2.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,

2、AB

3、=12,P为C的准线上一点,则

4、△ABP的面积为(　　)A.18B.24C.36D.48【解析】选C.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p>0).因为当x=时,

5、y

6、=p,所以p===6.又P到AB的距离始终为p,所以S△ABP=×12×6=36.3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,

7、AF

8、+

9、BF

10、=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A.B.1C.D.【解析】选C.由抛物线的定义,有

11、AF

12、+

13、BF

14、=+=xA+xB+p=3,故xA+xB=3-p=,故线段AB的中点到y轴的距离为,故选C.【举一反三】若将上题改

15、为F是抛物线x2=2y的焦点,A,B是抛物线上的两点,

16、AF

17、+

18、BF

19、=6,则线段AB的中点到y轴的距离为　　　　　.【解析】

20、AF

21、+

22、BF

23、=6,由抛物线的定义可得

24、AD

25、+

26、BE

27、=6,又线段AB的中点到抛物线准线y=-的距离为(

28、AD

29、+

30、BE

31、)=3,所以线段AB的中点到y轴的距离为.答案:4.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(　　)A.B.C.D.3【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.【一题多解

32、】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,由消去y得,3x2-4x-m=0,由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.所以l的方程为4x+3y-=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.5.(xx·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为(　　)A.8B.6C.4D.10【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,所以x1+

33、x2=4,x1x2=-4,所以弦长l==8.6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其上的三个点A,B,C的横坐标之比为3∶4∶5,则以

34、FA

35、,

36、FB

37、,

38、FC

39、为边长的三角形(　　)A.不存在B.必是锐角三角形C.必是钝角三角形D.必是直角三角形【解析】选B.设A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),由抛物线定义得

40、FA

41、=+3k,

42、FB

43、=+4k,

44、FC

45、=+5k,易知三者能构成三角形,

46、FC

47、所对角为最大角,由余弦定理可证该角的余弦值为正数,故该三角

48、形必是锐角三角形.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(xx·长沙高二检测)已知定点A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则·的最小值等于　　　　　.【解析】设P(x,y),则y2=2x,因为A(-3,0),B(3,0),则·=·=(x+3,y)·(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x≥0),所以当x=0时,(·)min=-9.答案:-98.(xx·济宁高二检测)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足

49、NF

50、=

51、MN

52、

53、,则∠NMF=　　　　　.【解析】过N作准线的垂线,垂足为P,则有

54、PN

55、=

56、NF

57、,所以

58、PN

59、=

60、MN

61、,∠NMF=∠MNP.又cos∠MNP=,所以∠MNP=,即∠NMF=.答案:9.(xx·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则

62、PA

63、+

64、PM

65、的最小值是　　　　.【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,

66、PA

67、+

68、PM

69、最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以F(1,0),如图,

70、PM

71、=

72、PN

73、-=

74、PF

75、-1,所以

76、

77、PA

78、+

79、PM

80、=

81、PA

82、+

83、PF

84、-1≥

85、AF

86、-1=-1=3-1.答案:3-1三、解答题(每小题10分,共20分)10.直角△AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点O为原点,OA所在直线的方程为y=x,△AOB的面积为6,求该抛物线的方程.【解题指南】运用解方程组分别求出A,B坐标,从而求出

87、OA

88、和

89、OB

90、,利用面积公式求