人教a版高中数学选修2-1同步检测第2章24-242第2课时抛物线方程及性质的应用

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1、第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用高效演练知能提升基础巩固一、选择题1.若抛物线y2=~4px(p>0)的焦点为F,准线为Z,则p表示()A.点F到y轴的距离B.点F到准线2的距离C.点F的横坐标D.点F到抛物线上一点的距离解析：由抛物线定义，知抛物线y2=—4px(p>0)的焦点到准线的距离为2p,所以p表示点F到y轴的距离.答案：A2.设圆C与圆x2+(j-3)2=1外切，与直线j=0相切，则C的圆心轨迹为()A.抛物线B.双曲线D.圆C.椭解析：由题意，知圆

2、C的圆心到点(0,3)的距离比到直线丿=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=~l的距离相等，根据抛物线的定义，知所求轨迹是一条抛物线.答案：A3.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有()A・1条B.2条C・3条D.4条解析：由题意，知点(2,4)在抛物线j2=8x±,所以过点(2,4)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行.答案：B4.设F为抛物线C：j2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直B.线交C于A,B两点，

3、O为坐标原点，则的面积为(63*32答案:D5.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D・不存在解析：由定义

4、AB

5、=5+2=7,因为

6、AB

7、min=4,所以这样的直线有且仅有两条.答案:B二、填空题226.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线

8、■一号=1相交于A,B两点.若厶ABF为等腰直角三角形，贝!Jp=解析：由题意，知△ABF的边长为2p,故点、Bp,一号，代入双曲线方程，得p=2・答案:

9、27.已知点叫刃在抛物线j2=4x±,则z=x2+

10、j2+4的最小值为.解析：z=x2+

11、j24-4=x2+2x+4=(x+1)2+3,因为y=4x^0,所以xe[O,+8),所以当兀=0时，Zmin=4・答案：48・已知点A(-2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为.答案：3三、解答题9•如图，已知直线l：y=2x—4交抛物线j2=4x于A,B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点F,使的面积最大.并求出这个最大面积.解:所以A(4,4),B(

12、l,-2),所以AB=3y[5・设P(x0,片)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有

13、2x（）—Jq—41__啦卩nld=Vs=V52~y~4=励血一1）一9

14、・因为一2

15、AF

16、=5,求抛物线的标准方程.解：因为抛物线的焦点F在兀轴正半轴上，可设抛物线标准方程为j2=2

17、px(p>0)・因为A(m9一3)在抛物线上，且

18、AF

19、=5,所以恃+£=5’解得P=1或P=9,故抛物线的标准方程为：y2=2x或丿2=18兀.B级能力提升1.已知直线Z与抛物线y2=8x交于4,〃两点，且2经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段的中点到准线的距离是()D.25“25B-y解析：抛物线的焦点坐标为(2,0),由题意可得直线2的方程为忙*'十T125所以AB=

20、AF

21、+

22、BF

23、=2+8+2+2=y-所以AB的中点到准线的距离为25答案：A2.己知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A

24、是抛物线上一点，若芮•A^=—4,则点A的坐标是・解析：因为抛物线的焦点为F(l,0),设殆,为),则芮=曾,■，A>=(1-号,-Jo),由芮•2?片=—4,得旳=±2,所以点A的坐标是(1,2)或(1,一2).答案:(1,2)或(1,-2)3.已知抛物线y=2x・(1)设点A的坐标为(亍0j,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离

25、B4

26、；(2)设点A的坐标为(a,0),求抛物线上的点到点A的距离的最小值d,并写出d=f(a)^J函数表达式.(2、2解：⑴设抛物线上任一点P的坐标为(兀，J),则网2=卜_勺+

27、y2=x1)23因为x^O,且在此区间上IMF随着兀的增大而增大，2所以当兀=0时，

28、PAmin=y2故距离点A最近的点P的坐标为(0,0),最短距离是亍(2)同⑴求得d2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2x=[x-(a-l)]2+(2a-l)・当a—1M0,即时，d爲=2a—1,解得dmin=#2a—1,此时