2019版同步优化探究理数（北师大版）练习：第十一章 第三节　数学归纳法.doc

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1、课时作业A组——基础对点练1、设实数c>0,整数p>1,n∈N*.(1)证明：当x>－1且x≠0时,(1＋x)p>1＋px；(2)数列{an}满足an＋1＝an＋a.证明：.证明：(1)用数学归纳法证明：①当p＝2时,(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x,原不等式成立、②假设p＝k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1＋x)k>1＋kx成立、当p＝k＋1时,(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以p＝k＋1时,原不等式也成立、综合①②可得,当x>－

2、1,x≠0时,对一切整数p>1,不等式(1＋x)p>1＋px均成立、(2)先用数学归纳法证明①当n＝1时,由题设知成立、②假设n＝k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立、由an＋1＝an＋a易知an>0,n∈N*.当n＝k＋1时,＝＋a＝1＋.由ak>c>0得－1<－<<0.由(1)中的结论得p＝p>1＋p·＝.所以n＝k＋1时,不等式也成立、综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>c均成立、再由＝1＋可得<1,即an＋1

3、{xn}是递减数列的充要条件是c<0；(2)若00,即证xn<对任意n≥1成立、下面用数学归纳法证明：当0

4、设当n＝k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即xk<.因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间(－∞,]内单调递增,所以xk＋1＝f(xk)xn,即{xn}是递增数列、3、已知函数f0(x)＝(x＞0),设fn(x)为fn－1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1＋f2的值；(2)证明：对任意的n∈N*,等式都成立、解析：(1)由已知,得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－,于是f2(x)＝f′1(x)＝′

5、－′＝－－＋,所以f1＝－,f2＝－＋,故2f1＋f2＝－1.(2)证明：由已知,得xf0(x)＝sinx,等式两边分别对x求导,得f0(x)＋xf′0(x)＝cosx,即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sin,类似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π),3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sin,4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)、下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立、①当n＝1时,由上可知等式成立、②假设当n＝k时等

6、式成立,即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x),′＝cos·′＝sin,所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.因此当n＝k＋1时,等式也成立、综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立、令x＝,可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)所以＝(n∈N*)、B组——能力提升练1、(2018·盐城模拟)设集合M＝{1,2,3,…,n}(n≥3),记

7、M的含有三个元素的子集的个数为Sn,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为Tn.(1)求,,,的值；(2)猜想的表达式,并证明之、解析：(1)当n＝3时,M＝{1,2,3},S3＝1,T3＝2,＝2,当n＝4时,M＝{1,2,3,4},S4＝4,T4＝2＋2＋3＋3＝10,＝,同理可得＝3,＝.(2)猜想＝,n≥3.①当n＝3时,由(1)知猜想成立；②假设当n＝k(k≥3)时,猜想成立,即＝,而Sk＝C,所以Tk＝C,当n＝k＋1时,易知Sk＋1＝C,而当集合M从{1,2,3,

8、…,k}变为{1,2,3,…,k,k＋1}时,Tk＋1在Tk的基础上增加了1个2,2个3,3个4,…,(k－1)个k,所以Tk＋1＝Tk＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k－1)＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)＝C＋2C＝C＝Sk＋1,即＝,所以当n＝k＋1时,猜想也成立、综上所述,猜想成立、2、(20