2019年试题同步优化探究理数 北师大版 第十一章 第三节　数学归纳法.doc

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1、课时作业A组——基础对点练1．设实数c>0、整数p>1、n∈N*.(1)证明：当x>－1且x≠0时、(1＋x)p>1＋px；(2)数列{an}满足an＋1＝an＋a.证明：.证明：(1)用数学归纳法证明：①当p＝2时、(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x、原不等式成立．②假设p＝k(k≥2、k∈N*)时、不等式(1＋x)k>1＋kx成立．当p＝k＋1时、(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以p＝k＋1时、原不等式也成立．综合①②可得、当x>－1、x≠0时、对一切整数

2、p>1、不等式(1＋x)p>1＋px均成立．(2)先用数学归纳法证明①当n＝1时、由题设知成立．②假设n＝k(k≥1、k∈N*)时、不等式成立．由an＋1＝an＋a易知an>0、n∈N*.当n＝k＋1时、＝＋a＝1＋.由ak>c>0得－1<－<<0.由(1)中的结论得p＝p>1＋p·＝.所以n＝k＋1时、不等式也成立．综合①②可得、对一切正整数n、不等式an>c均成立．再由＝1＋可得<1、即an＋1

3、0、即证xn<对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明：当0

4、x2＋x＋c在区间(－∞、]内单调递增、所以xk＋1＝f(xk)xn、即{xn}是递增数列．3．已知函数f0(x)＝(x＞0)、设fn(x)为fn－1(x)的导数、n∈N*.(1)求2f1＋f2的值；(2)证明：对任意的n∈N*、等式都成立．解析：(1)由已知、得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－、于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋、所以f1＝－、f2＝－＋、故2f1＋f2＝－1.(2)证明：由已知、得xf0(x)

5、＝sinx、等式两边分别对x求导、得f0(x)＋xf′0(x)＝cosx、即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sin、类似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)、3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sin、4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．①当n＝1时、由上可知等式成立．②假设当n＝k时等式成立、即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x

6、)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)、′＝cos·′＝sin、所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.因此当n＝k＋1时、等式也成立．综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．令x＝、可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)所以＝(n∈N*)．B组——能力提升练1．(2018·盐城模拟)设集合M＝{1,2,3、…、n}(n≥3)、记M的含有三个元素的子集的个数为Sn、同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列、取出中间的数、所有这些中间的数的和记为Tn.(1)求、、、的值；(

7、2)猜想的表达式、并证明之．解析：(1)当n＝3时、M＝{1,2,3}、S3＝1、T3＝2、＝2、当n＝4时、M＝{1,2,3,4}、S4＝4、T4＝2＋2＋3＋3＝10、＝、同理可得＝3、＝.(2)猜想＝、n≥3.①当n＝3时、由(1)知猜想成立；②假设当n＝k(k≥3)时、猜想成立、即＝、而Sk＝C、所以Tk＝C、当n＝k＋1时、易知Sk＋1＝C、而当集合M从{1,2,3、…、k}变为{1,2,3、…、k、k＋1}时、Tk＋1在Tk的基础上增加了1个2,2个3,3个4、…、(k－1)个k、所以Tk＋1＝Tk＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k

8、(k－1)＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)＝C＋2C＝C＝Sk＋1、即＝、所以当n＝k＋1时、猜想也成立．综上所述、猜想成立．2．(20