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时间:2018-07-22
《2019版一轮优化探究理数第十章 第五节 数学归纳法练习》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习1.应用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数f(n)=n(n-3)(n≥3).证明:①当n=3时,三角形没有对角线,f(3)=0,又f(3)=×3×(3-3)=0,命题成立.②假设当n=k(k≥3)时命题成立,即凸k边形A1A2…Ak有f(k)=k(k-3)条对角线,再加一个顶点Ak+1,构成凸k+1边形,则增加了k-2条对角线,又原来的边A1Ak变成了对角线,故对角线增加了k-1条,即凸k+1边形有f(k+1)=k(k-3)+k-1=(k2-3k+2k-2)=
2、(k2-k-2)=(k+1)[(k+1)-3]条对角线,可知当n=k+1时,命题成立,综合①②可知命题对于n≥3的自然数n都成立.2.是否存在一个等差数列{an},使得对任何正整数n,等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立,并证明你的结论.解析:将n=1,2,3分别代入等式得方程组:解得a1=6,a2=9,a3=12,设等差数列{an}的公差为d,则d=3,从而an=3n+3.故存在一个等差数列an=3n+3,使得当n=1,2,3时,等式成立.下面用数学归纳法证明结论成立
3、.①当n=1时,结论显然成立.②假设n=k(k≥1,且k∈N*)时,等式成立,即a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2).那么当n=k+1时,a1+2a2+3a3+…+kak+(k+1)ak+1=k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3]=(k+1)(k2+2k+3k+6)3苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2].∴当n=k+1时,结论也成立.由①②知存在一个等差数列an=3n+3,使得对任
4、何正整数n,等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.3.已知数列{an},an≥0,a1=0,a+an+1-1=a.求证:当n∈N*时,an0,所以ak+15、和(2),可知an0,b>0,n>1,n∈N*.用数学归纳法证明:≥()n.证明:(1)当n=2时,左边-右边=-()2=()2≥0,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k>1)时,不等式成立,即≥()k.因为a>0,b>0,k>1,k∈N*,所以(ak+1+bk+1)-(akb+abk)=(a-b)·(ak-bk)≥0,于是ak+1+bk+1≥akb+abk.当n=k+1时,()k+1=()k·≤·=≤=,即当n=k+1时,不等式也成立.综合(1)6、,(2)知,对于a>0,b>0,n>1,n∈N*,不等式≥()n3苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习总成立.3
5、和(2),可知an0,b>0,n>1,n∈N*.用数学归纳法证明:≥()n.证明:(1)当n=2时,左边-右边=-()2=()2≥0,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k>1)时,不等式成立,即≥()k.因为a>0,b>0,k>1,k∈N*,所以(ak+1+bk+1)-(akb+abk)=(a-b)·(ak-bk)≥0,于是ak+1+bk+1≥akb+abk.当n=k+1时,()k+1=()k·≤·=≤=,即当n=k+1时,不等式也成立.综合(1)
6、,(2)知,对于a>0,b>0,n>1,n∈N*,不等式≥()n3苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习总成立.3
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