2019年试题一轮优化探究理数 苏教版 第十章 第五节　数学归纳法.doc

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1、1．应用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数f(n)＝n(n－3)(n≥3)．证明：①当n＝3时、三角形没有对角线、f(3)＝0、又f(3)＝×3×(3－3)＝0、命题成立．②假设当n＝k(k≥3)时命题成立、即凸k边形A1A2…Ak有f(k)＝k(k－3)条对角线、再加一个顶点Ak＋1、构成凸k＋1边形、则增加了k－2条对角线、又原来的边A1Ak变成了对角线、故对角线增加了k－1条、即凸k＋1边形有f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－3k＋2k－2)＝(k2－k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]条对角线、可知当n＝k＋1时、命题成立、综合①②可知命题对于n≥3的自然数n都成立．

2、2．是否存在一个等差数列{an}、使得对任何正整数n、等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立、并证明你的结论．解析：将n＝1,2,3分别代入等式得方程组：解得a1＝6、a2＝9、a3＝12、设等差数列{an}的公差为d、则d＝3、从而an＝3n＋3.故存在一个等差数列an＝3n＋3、使得当n＝1,2,3时、等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当n＝1时、结论显然成立．②假设n＝k(k≥1、且k∈N*)时、等式成立、即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时、a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1＝k(k＋

3、1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．∴当n＝k＋1时、结论也成立．由①②知存在一个等差数列an＝3n＋3、使得对任何正整数n、等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立．3．已知数列{an}、an≥0、a1＝0、a＋an＋1－1＝a.求证：当n∈N*时、an

4、－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0、所以ak＋10、b>0、n>1、n∈N*.用数学归纳法证明：≥()n.证明：(1)当n＝2时、左边－右边＝－()2＝()2≥0、不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*、k>1)时、不等式成立、即≥()k.因为a>0、b>0、k>1、k∈N*、所以(ak＋1＋bk＋1)－(akb＋abk)＝(a－b)·(ak－bk)≥0、于是ak＋1＋bk＋1≥akb＋abk.当n＝k＋1时、()k＋1＝

5、()k·≤·＝≤＝、即当n＝k＋1时、不等式也成立．综合(1)、(2)知、对于a>0、b>0、n>1、n∈N*、不等式≥()n总成立．