2019年试题一轮优化探究理数 苏教版 第十章 第四节　直接证明与间接证明.doc

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1、一、填空题1．给出下列命题：①ab、c>d、abcd≠0⇒>；④a>b>0、c>d>0⇒>.其中为真命题的是________．(填所有正确命题的代号)解析：利用不等式的性质、根据条件利用综合法可知①②④正确、③不正确．答案：①②④2．已知函数f(x)＝()x、a、b是正实数、A＝f()、B＝f()、C＝f()、则A、B、C的大小关系为________．解析：∵≥≥、又f(x)＝()x在R上是减函数、∴f()≤f()≤f()、即A≤B≤C.答案：A≤B≤C3．设m、n为两条线、

2、α、β为两个平面、给出下列四个命题：①⇒m∥β；②⇒n∥β；③⇒m、n异面；④⇒m⊥β.其中真命题是________．解析：对于命题②、也可能n⊂β、故②错误；对于命题③直线m、n也可能平行或相交、故③错误；对于命题④、m与β也可能平行、故④错误；命题①正确．答案：①4．设a＝－、b＝－、c＝－、则a、b、c的大小顺序是________．解析：∵a＝－＝、b＝－＝、c＝－＝、∴若比较a、b、c的大小、只要比较＋、＋、＋的大小．∵＋>＋>＋>0、∴<<、∴cb>c5．设x、y、z∈(0、＋∞)、a＝x＋、b＝

3、y＋、c＝z＋、则a、b、c三数________．①至少有一个不大于2②都小于2③至少有一个不小于2④都大于2解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6、因此a、b、c至少有一个不小于2.答案：③6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义、且f(0)＝f(1)、如果对于不同的x1、x2∈[0,1]、都有

4、f(x1)－f(x2)

5、<

6、x1－x2

7、、求证：

8、f(x1)－f(x2)

9、<.那么他的反设应该是________．解析：该命题为全称命题、其否定为特称命题．答案：“存在x1、x2∈[0,1]、使得

10、f

11、(x1)－f(x2)

12、<

13、x1－x2

14、且

15、f(x1)－f(x2)

16、≥”7．设等比数列{an}的前n项和为Sn、x＝S＋S、y＝Sn(S2n＋S3n)、则x与y的大小关系为________．解析：由条件知Sn、S2n－Sn、S3n－S2n成等比数列、所以Sn(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2、展开整理得S＋S＝Sn(S2n＋S3n)、所以x＝y.答案：x＝y8．如果a＋b>a＋b、则a、b应满足的条件是________．解析：a＋b>a＋b⇔(－)2(＋)>0⇔a≥0、b≥0且a≠b.答案：a≥0、b≥0且a≠b9．如果△A

17、1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值、则下列说法正确的是________．①△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形②△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形③△A1B1C1是钝角三角形、△A2B2C2是锐角三角形④△A1B1C1是锐角三角形、△A2B2C2是钝角三角形解析：由条件知、△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0、则△A1B1C1是锐角三角形、假设△A2B2C2是锐角三角形．由、得.那么、A2＋B2＋C2＝、这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立、所以△A2B2C2

18、是钝角三角形．答案：④二、解答题10．设a、b均为正数、且a≠b、求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明：证法一(分析法)要证a3＋b3>a2b＋ab2成立、只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．又因为a＋b>0、只需证a2－ab＋b2>ab成立．只需证a2－2ab＋b2>0成立、即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b、则(a－b)2>0显然成立、由此命题得证．证法二(综合法)a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.(*)而a、b均为正数、∴a＋b>0、由(

19、*)式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)、∴a3＋b3>a2b＋ab2.11．已知a、b、c是互不相等的非零实数、用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0、bx2＋2cx＋a＝0、cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．证明：假设三个方程都没有两个相异实根、则Δ1＝4b2－4ac≤0、Δ2＝4c2－4ab≤0、Δ3＝4a2－4bc≤0.上述三个式子相加得：a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0.即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.由已知a、b、c是互不相等的非零

20、实数、∴上式“＝”不能同时成立、即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0、与事实不符、∴假设不成立、原结论成立．即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．12．已知数列{an}满足：a1＝、＝、anan＋1<0(n≥1)、数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．(1)