2019版一轮优化探究理数第十章 第五节　数学归纳法练习

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1、苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习1．应用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数f(n)＝n(n－3)(n≥3)．证明：①当n＝3时，三角形没有对角线，f(3)＝0，又f(3)＝×3×(3－3)＝0，命题成立．②假设当n＝k(k≥3)时命题成立，即凸k边形A1A2…Ak有f(k)＝k(k－3)条对角线，再加一个顶点Ak＋1，构成凸k＋1边形，则增加了k－2条对角线，又原来的边A1Ak变成了对角线，故对角线增加了k－1条，即凸k＋1边形有f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－3k＋2k－2)＝

2、(k2－k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]条对角线，可知当n＝k＋1时，命题成立，综合①②可知命题对于n≥3的自然数n都成立．2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何正整数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n＝1,2,3分别代入等式得方程组：解得a1＝6，a2＝9，a3＝12，设等差数列{an}的公差为d，则d＝3，从而an＝3n＋3.故存在一个等差数列an＝3n＋3，使得当n＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立

3、．①当n＝1时，结论显然成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)3苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②知存在一个等差数列an＝3n＋3，使得对任

4、何正整数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立．3．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求证：当n∈N*时，an0，所以ak＋1

5、和(2)，可知an0，b>0，n>1，n∈N*.用数学归纳法证明：≥()n.证明：(1)当n＝2时，左边－右边＝－()2＝()2≥0，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k>1)时，不等式成立，即≥()k.因为a>0，b>0，k>1，k∈N*，所以(ak＋1＋bk＋1)－(akb＋abk)＝(a－b)·(ak－bk)≥0，于是ak＋1＋bk＋1≥akb＋abk.当n＝k＋1时，()k＋1＝()k·≤·＝≤＝，即当n＝k＋1时，不等式也成立．综合(1)

6、，(2)知，对于a>0，b>0，n>1，n∈N*，不等式≥()n3苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习总成立．3