Laplace-算子极坐标式全证明(2).doc

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1、【续前证明——杂合项的计算】○杂合项的计算i.与的杂合项计算杂合项=[2]=杂合项=[3]=[4]=杂合项=[1]=[2]=杂合项=[3]=[2]=杂合项=[1]=[2]=杂合项=[3]=[4]=ii.杂合项计算杂合项=杂合项=iii.杂合项=杂合项=杂合项=杂合项=杂合项=杂合项=i.平方项遗留的杂合偏微分其中可以知道每个项的项计算是不会产生复合偏微分的（a）与有关的复合项复合项==复合项=(b)与复合项复合项=(c)与有关的复合项复合项=○平方项的计算平方项的和可以简写如下：平方项=+○处理结果的求和现在我们要

2、把上述的各组结果加起来，就可以得到Laplace算符的极坐标表达式。我们为了进一步使求和的结果一目了，我们把上述结果按照偏微分操作符后缀的种类再划分为三大类：i.二阶连续偏微分项即为=i.二阶不连续偏微分项即为以(注：三种算符各自可以对易，例如有项系数=ii.一阶偏微分项即为（我们在上面用了“A”标记）=（我们在上面用了“B”标记）=（我们在上面用了“C”标记）=综上所述，可以得到Laplace算符的极坐标展开式如下：在现有的网上能找到的Laplace算符也写作如下（非完全展开）(3)后记——Laplace算子的巨

3、大威力得到Laplace算子的极坐标表达式之后，我们可以将薛定谔方程中的波函数ψ（x,y,z）用(代替，之后可以把解一个复杂二阶偏微分方程转换成解三个常微分方程：类氢原子薛定谔方程：代入Laplace算子得到：=0令有ψ经过微分运算，移项之后得到如下：因为式子的左边不含变量,右边不含变量，所以欲使左右两边相等，必须等于同一个常数。令这一个常数为，代入有：对于上面的第二个方程，等号左右两边含的变量也不同，于是也必须相当于同一个个常数。令常数为代入方程有：以上三个方程分别称为其中很重要的是，它们分别是由勒德让方程与拉盖

4、尔方程解出来的。