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《Laplace-算子的特征函数系在三个空间中的完备性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Laplace算子的特征函数系在三个空间中的完备性表示实维Euclid空间，设是中的有界开集，边界适当光滑。空间上的内积记为，范数记为；空间内积记为，范数记为；定义5.1,称为Laplace算子.定义5.2如果存在实数,和非零函数，使得，（5.1）则称为算子（或问题（5.1））的特征值,称为对应于特征值的特征函数.16例如，(5.2)就是（5.2）的特征值和对应于特征值的特征函数.且有,,在中正交,任意函数在中可用展开成Fourier级数.,（未必相等）,令，则有.系数的记法.16定义5.3对实数,如果存在函数,使得（5.3）则称为为算子的（广义）特征值,称为对应于特征值的广义特征函数.
2、显然由定义5.2定义5.3,反之,在一定条件下,定义5.3定义5.2.5.2特征值的存在性若是（5.3）的特征值与特征函数,则有,,于是我们引入泛函.由Friedrichs不等式,,.此式说明泛函有正的下界,16因此有下确界.如果定义,（5.4）则今证明是算子的最小特征值.由下确界的定义,对任意正整数,存在满足（）于是得在中有界,由索伯列夫嵌入定理,存在的子序列和函数,使得（在中）,，在中弱收敛,再由得,16又,故,即存在,,使得（条件极值）下面证明就特征值与特征函数.,对任意根据上式得出即在处达到最小值.由此知16得,,即因此,是算子的特征值,为对应于特征值的特征函数.再证是最小的特征
3、值,设是的任意特征值,即存在,使得在此式中,取,得出,.这就证明是的最小特征值.5.3算子的所有特征值16我们可以采用下列方法依次求出算子的所有特征值.,显然,可以证明,存在,,使得,同上面可证,满足即是特征值,为对应于特征值的特征函数.假设我们已经得出算子的个特征值,(),且,（5.5）对应于的特征函数为,（5.6）且.函数组（5.6）的所有线性组合成为的一个线性子空间,叫做组（5.6）在中生成的子空间,记为16以表示在中的正交补空间,即.根据泛函有下界性,我们将证明,（5.7）就是算子的第个特征值.重复上面的讨论变分问题（5.4）的步骤可以证明,存在函数,使得,（5.8）,（5.9）
4、是算子的第个特征值,为对应于特征值的特征函数.由（5.7）易知.由于是无限维空间,按（5.7）得出算子的特征值的无限序列,（5.10）相应的的特征函数序列为16,（5.11）5.3特征值序列及对应的特征函数系的性质性质1最小特征值对应的特征函数可以取来满足.性质2对应于不同特征值的特征函数在中是正交的.证明设特征值对应的特征函数分别为,且由此知道,当时,性质3特征值序列（5.10）满足.证明由于是单调递增的，只须证明是无界的。16假若有界，由，，于是在中有界，利用紧嵌入，得到中存在子列（仍记为）在中收敛，，但当时，，矛盾，所以是无界的。故有。性质4对应于同一特征值只有有限个线性无关的特征
5、函数,或者说,对应于每一个特征值的特征函数空间是有限维的.性质5特征函数序列（5.11）是空间的基底,即（1）对任意,在中.（2）若,则.众所周知,存在特征值序列和相应的特征函数系，满足这里，,,,且．可以证明．即在中是标准正交系.其中表示上的范数，表示16上的内积.引理3.1.4(特征函数的性质)特征值问题有如下结论：1)是中的一组正交完备基，对，，．2)是中的一组标准正交基．对，在成立．3)是中的一组正交基．对，成立．证明对，记，显然与在中正交，，于是，由此，而，所以。对任意实数，记，显然与在中正交，，16于是，由此，1）任意，；于是是中的一组正交系；对，显然与在中正交，，成立，于是
6、，易知，；由于，且与都正交，所以有，，由，得到，对，有在中收敛于；对任意，16，于是在中收敛，且在中收敛；故在中收敛于；2）设，对任意，存在，使得，记，，则有在中收敛于；易知成立，于是，从而得到在中收敛于；或者由，得到在中收敛于；3）已有，再证，因为，，16由2)知，在中．利用估计：对成立，，.故是中的一组正交基．定理是中的一组正交完全系，证明任意，；于是是中的一组正交系；若,则.证明；由，可得，；16假若，可设，，由于，；所以有，这与矛盾，故，这证明了是是中的一组正交完全系。由于是Banach空间，于是是中的一组正交完备系，即对任意，，记，成立在中收敛于。参考文献[1]Courant,
7、R.andHilbert,D.著,钱敏,郭敦仁译.数学物理方法(Ⅰ)[M].北京:科学出版社,1958.319-355.[2]Smoller,J.,ShockWavesandReaction-Diffusions[M].Springer-Verlag,1983.[3]Gilbarg,D.,Trudinger,N.S.著.叶其孝等译.二阶椭圆型偏微分方程[M].上海：科学技术出版社，1981.52-55.[4]叶其孝,李正元.反应扩散
