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《一类非自伴Strum—Liouville问题的特征函数系的完备性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第40卷第2期2010年3月河南人学学报(自然科学版)JournalofHenanUniversity(NaturalScience)Vol.40No.2Mar.2010—类非自伴Strum-Liouvillo问题的特征函数系的完备性李镇（郑州大学数学系•郑州450052）摘要：研究了一类边界条件带有待征参数的StrumLiouville问题•一•般悄况下，它是非自伴的｝应用复分析方法证明了它有可列个待征值•并对待征值做了渐近估计，获得了特征旳数的完备性.关键词：非自伴；特征甬数系；完备性中图分类号：O175文献标志码：A文章
2、编号：1003-4978（2010）02—0115-04TheCompletenessofSystemofEigenfunctionsforANon-seif-conjugateSturm-LiouvilleProblemLIZhen（DepartmentofMathematics.ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450052.China）Abstract:TheSturm-Liouvilleproblemforboundaryconditionwitheigenparameterisstudied・
3、（）ngeneralcasethisproblemisnon-self-conjugate・Inthispapertheexistenceofeigenveluesisproved»theasymptoticestimationsisdiscussed,andthecompletenessofsystemofeigenfunctionsisobtainedbyusingcomplexmethods・Keywords:non-self-conjugatc;eigenfunction;completenessStrum-Liouv
4、ille特征值问题是数学物理中的重要问题，在工程和物理中有着不可缺少的作用.冇限区间上的&L问题，当位势为连续函数时常见的边值条件为线性齐次条件：3，（0〉+ai2«y（7T）+ai3«y'（0）+54$（兀）=0,any（0）+a22«y（兀）+a23«y'（0）+a24，（兀）=0.当系数矩阵满足一定条件时，可生成n伴微分算子•这种情况下，对于特征展开问题可以借助于泛函方法获得完美的结果X"•但非自伴的情形，并未彻底解决，此时泛隨方法已无能为力•文献[3]—[6]用复分析方法讨论了一些常微分方程的特征值问题•其中有非白伴悄
5、形的问题•本文讨论以下边界条件带有特征参数的S丄问题（E）：—y“+/•!），=入y,（1）y（0）=0,心（兀）+ay'（7r）=0.（2）—般悄况下，该问题是非自伴的•作者借助于复分析的方法研究了它的基本问题，并获得了它的待征函数系的完备性.1特征值的存在性与渐近估计设以工，入〉和*工，入）分别为方程（1）的满足以下初值条件的解：華（0,入）=0,华'（0,入）=—1,（3）才（0,入）=1,才（0,入）=0.（4）收稿日期：2009-06-30基金项目：国家自然科学基金资助项目（10871182）作者简介：李镇（1973
6、—），男，河南开封人，硕士，主要从事常微分算子理论研究.116河南大学学报（自然科学版）,2010年，第40卷第2期可直接验证（1）+（3）等价于积分方程卩（才）=工+（工一r）［g（f）—入］卩（（5）a利用迭代法nJ证（5）的解存在•并对工和入二元连续，对每一固定的工是入的解析函数，肛工，八=卩（工，入〉・类似地可以证明x（x,A）也具有同样的性质⑵•可宜接验证（1）+（3）又等价于积分方程卩（工以）Fg（T）°（「入）d"SaS其中?=A・利用Bellman引理⑴可以证明■卩（工，入）=-^^+0（1$
7、一2』山），（6
8、）卩'（工,入）=—cosx+0（
9、s（7）其中$=/+&・类似地有^（x»A）=cos+0（
10、5
11、-1elrlx）,（8）/（工，入〉=—ssin工+O（e""）・（9）命题1.1问题（E）的特征值集与"（tt,入）+仲'（兀,入）的零点集重合.证朋设入。为（E）的特征值，相应的特征函数为/（x）,则/（0）=0,Ao/（7t）+*'（兀）=0.由于/（x）和卩（工，入）均为（1）的解，且在工=0处w［/（x），卩（工,九）］=0,又由于（1）缺少一阶导数项，故由Liouville定理知，爭（工,入°）］=0，即f（.x）与
12、华（広,入）线性相关，从而入°伞（兀,入o）+a（p，（兀,入°）=0.反之，若入以兀，入。）+呼'（兀,入。）=0,又卩（0,入。）=0,故卩（H,入0）满足（E）,Ao是（E）的特征值.记Cd（A）=g（兀，入〉+呼'（兀，入）.（10）容易直接验证以下命题1・2和引理1
