多区间上自伴Sturm-Liouville算子和高阶常微分算子特征值的重数关系

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1、声明本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。学位论文使用授权声明南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。研究生签名：硕士论文多区间上自伴Sturm．Liouviile算子和高

2、阶常微分算子特征值的重数关系当研究定义在陋，b]上的Sturm．Liouville问题一(∥，)，+qY=ay时，若系数函数P或g在【口，b】上有一个奇点C，则我们需要讨论定义在区间【a，c】和【c，纠上的Stunn—Liouville问题。若系数函数P或q在【a，b】上有多个奇点Cl’．一，Ck小则我们需要讨论定义在区间【a，cl】，k1，c2】．··【c卜1，纠上的Sturm-LiouviUe问题，即k区间Sturm．Liouville问题。k区间Sturm-Liouville问题在物理学中有着广泛应用。常型的Sturm．Liouville问题是一个经典的问题，

3、对其特征值的解析重数和几何重数的关系的研究，已经有了很多非常好的结论和方法。例如，对常型的Sturm—Liouville问题，【17】证明了在分离型自伴边条件下，特征值的解析重数和几何重数相等，【8】证明了在混合型自伴边条件下，特征值的解析重数和几何重数相等。遗憾的是【8】中的方法不能推广到多区间Sturm．Liouville问题和高阶常微分算子上来。文献【28】利用边条件空间的几何结构，对常型的Sturm．Liouville算子的重数问题给了一个巧妙的证明。更重要的是，这个方法可以推广到多区间Sturm．Liouville问题和高阶常微分算子上来。本文就是利用【2

4、8】中的方法，证明了对于多区间Sturm—Liouville问题和高阶常微分算子，特征值的解析重数等于几何重数。对于多区间Sturm—Liouville问题，文献【4】对所有的自伴边条件给了一个明确的刻画。同样，对于高阶常微分算子，文献【5】给出了所有自伴边条件的具体表达式，这是我们解决特征值重数问题的基础。本文的结构组织如下：第一部分，介绍一些基本概念和本文需要的结论；第二部分，对多区间Sturm．Liouville问题，证明特征值的解析重数等于几何重数；第三部分，对高阶常微分算子，证明特征值的解析重数和几何重数相等。1预备知识1．1多区间上自伴Sturm．Lio

5、uville问题设k是整数且k≥2。考虑k区间Sturm—Liouville问题，它由k个具有形式一坳，)，+qjY=／']．wjyx∈(aj，bj)，_『=1⋯．，k，1预备知识硕士论文的Sturm—Liouville方程组成。其中，一∞saj<幻≤+oo，(1．2)1／h，qj，wj∈L((aj，幻)，R)，wj>O几乎处处于(a，，易j)(1．3)J=1，⋯，kA∈C称为谱参数，L(0，易)，R)表示(以，6)上的LeSsee可积的实值函数空间。令in=(ml⋯．，ink)是一个有序七一数组，其中mI’．⋯mk是实数。在关于k个Sturm．Liouville方

6、程(1．1)的直和空间纠=％。⋯o％：=砖。((口l，吼c)。⋯。玩((鲰，bt)，c)上，定义一个自然的线性微分算子lOl，⋯，yk)=(m】卜(^)，j)7+qlYl]／Wl，⋯，愀【一0t)五)7+qkYk]／Wk)，其定义域为硫产{∽⋯瑚∈纠：y卜j,螂fjy'jzEAC等loc((aj,b∈j)％,C)}，∽4，其中，ACtoc((a，易)，C)表示在(口，b)的紧子集上绝对连续的复值函数空间。对于o，l'．⋯Yk)∈D眦，令驴yj；]川⋯。．在文献【4】中，作者给出了l自伴的一个充要条件且给出了自伴边条件的刻画。定理1．1，注1．2，定理1．3，1．4都

7、是文献【4】的结论。定理1．1．[41Zk工的线性子空／句是l的自伴定义域的充要条件是存在2k×2的复矩阵A1’Bl⋯．，At，Bt使得子空／句为2{()，l'⋯，儿)∈Zk工：A1Yl(a1)+BlYl(bx)+⋯+AkYk(ak)+风Yk(bk)=0)，(1．5)硕士论文多区间上自伴Sturm．Liouville算子和高阶常微分算子特征值的重数关系并且Al，B⋯⋯血，风满足秩条件和自伴条件rank(A1I曰lI．．·MtI瞰)=2k，miAiE2Aj+⋯+mkAkE2A：=ml曰l邑q+⋯+mkBkE2B：，其中，易=(。二，：：]。注1．2．曲由rJ．刃和