应用极坐标法证明著名几何定理

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1、中学数学研究2010年第2期想方法．就能巧妙地加以解决．p(x)dx：一1，E(x)=IzP(z)dx=例76名同学站成一排，其中甲不在排D(x)+(E(x))=普，I。P()dx=1，则头，也不在排尾的站法有多少种?解：如果把5名同学排成一排看成一次随rI(2x2+2x+3)e。+23)dx：=．·机试验，则该试验包含的基本事件总数为A2．J一q丁c设事件A={甲不站在排头，也不站在排尾}，Be一2rI(2z2+2x+3)e一+1)dx：=√ire一·：{甲站在排头}，C={甲站在排尾}，则根据题1[2Ip(x)dx+Ixp(x)dx+意易得P(B)=P(C)=专U，所以P(A)=1一

2、，13Ip(x)dx]=8-2[2E(X)+2E(X)+P(B)一P(C)=鲁J，所以甲不在排头，也不在13]=～2(3—2+3)=4-2．排尾的站法共有鲁A2=480种．五、在排列组合中的应用结束语：从以上几点可以发现概率论的思古典概型是概率论中最古老最原始的一种想方法确渗透于数学的各个方面，其应用之广概率模型．也是相对来讲在高中阶段出现最多泛也显而易见，因此作为一线教师有必要加深的一种概率模型．而排列组合也是高中阶段数学习掌握各个数学知识之间的内在联系．从更学理科学习中的重要．内容之一．仔细推敲可以高的高度指导学生，培养更高素质的现代化人发现两者之间存在紧密的联系．因此，在一些排才．

3、列组合问题中如果引入概率论中古典概型的思j譬eej}kj}}j}~a~-aleI}jk，}j翻}夸j-●}簟j●}，警}jkr,allr-~~崔jIjkjk-业jk，簟应用极坐标法证明著名几何定理江苏省泰州实验学校(225300)罗圣国在平面几何中，每个定理都有它原来各自这一直线极坐标两点式可应用坐标互化公的推导和论证方法．其中有的定理的证明如用式：z=peosO，=psinO代入直角坐标系两点极坐标法，不仅证法简便，而且能使我们触类旁式方程：兰二=中，通过三角恒等变通，开阔视野，从而不断提高解题能力．．yl2l近年来，高中数学新课程标准又把《极坐标形得到．系与参数方程》列入了选修系列4

4、，从而使得极例1用极坐标法证蝴蝶(butterfly)定坐标这一传统教学内容又回到了高中数学之理：已知o0的弦AB的中点为M，过M任作中，说明极坐标的重要性显而易见．两弦CD、EF，连结CF、DE分别交AB于G、下面就应用极坐标系中过P1(P1，01)、P2H．求证：MG：H．(1D2，02)两点的直线方程：—sin(02-O1)证明：如图1建立极坐标—：系．设E(P，a)、D(d，一)、A二+(Pa≠0,P2≠0，lD3≠C(c，丌一卢)、F(f，7f十a)、H一D1D’‘(，0)、G(g，)，贝4ED：0)，来对几个著名的几何定理进行证明．供高中图1数学教师教学阅读时参考．·25·2

5、010年第2期中学数学研究证明：如图3，建立极坐标系．设AC』01，P：+e(、1)，将一HBC=p2，LBCH=a，,~ACH：卢，则’A(1D1，J9)、P(√2』D1，45。+卢)、R(√2ID2，一45。一口)、B(P2，一。)．．·．BP：：可求得：+(3)，．·．(2)一+(1)，p242pi。(3)得sin(a+卢)(去一言)=曼ef(厂一e)一slna：：+lDfD1则e=2MQ=2MO'sina(2)，又CH：=oo(3)，令BP和CH¨d2MP2MO"sinfl(．5)，(5)代入(4)、／，、／I／、’／Zp2：=右边，。．’=(相交弦定理)，．·．sin(口+)(

6、1交于E，令AR和CH交于E，则解(1)和(3)及2~'+(2)和(3)可得PE=ucp~p2sin(45a+／3)一∞s+sin+2sin言)=0，‘·。sin(n+卢)≠0，’’‘去一1=0，’·‘1ID1卢lD(4)，P￡，=4~p1p2sin(45*+a+fl)(泪为PH2啷PlsInpP2slna=CH=Pl∞s卢：P2COSOt，故对照(4)和(5)可得PE⋯。．E(PE，O)和E(PE，，0)点重合，从而CH、BP、AR共点．例4用极坐标法证斯古登(Schooten)定理：设AD为AABC顶角A的平分线，求证AD2=AB．AC—BD．19(2系径=c为．o设sO1△．，令A

7、则1顶oA委20点A囊为3的的：方A外￡程(接co为圆sO：直i』D，(6石／=AI，．Oi)(i=1，2，3)，Oi∈[0，27r]，图2证明：如图4建立极坐标系．设B(b，0)、C(C，2a)，则．’．A2A3方程：=+，化简整理，得lDcoS(0-2一3)：cos02cos03．这是A2A3的法线式方程，故知垂足B1的坐标为(cos02cos03，02+03)，轮换三个顶点两坐标得：B2(cos03cos01，03+01)、B