自然数平方和.doc

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1、这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=?（n^2表示n×n＝n2为了好打字）一、推导1、直接推导：1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2      +         + 2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2      +         +   3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2      +         +      .         .      .         . (i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2   (i=

2、0,……,n-1)      

3、

4、        

5、

6、      S  =  (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4两边求一下得所求S此法较为直观正规2、用其他的公式推导：容易证明1x2+2x3+3x4+4x5+...+nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成1x2+2x3+3x4+4x5+nx(n+1)=(1x1+2x2+...+ nxn)+(1+2+...+n)于是1x1+2x2+...+ nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1)3、

7、二项式推导：2^3=1^3+3*1^2+3*1+13^3=2^3+3*2^2+3*2+14^3=3^3+3*3^2+3*3+1.......(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1sumupbothsidessubstractcommonterms:(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==>solveforbb=1^2+2^2+...+n^2此法需要较强的基本功，属奥妙之作4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）5、用现成恒等式推导二、证明1、数学归纳法1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)

8、(2n+1)/6当n=1时,显然成立.设n=k时也成立,即:1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6那么当n=k+1时,等式的左边等于:1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6而等式的右边等于:(当n=k+1时)(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6即当n=k+1时,等式左边等于

9、等式的右边所以对于一切n,等式都成立此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜～，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢2、图形法计算12＋22＋32＋42。根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=1×1=1、22=2×2=2＋2、32=3×3=3＋3＋3、42=4×4=4＋4＋4＋4，则12＋22＋32＋42=1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4。把这10个加数排写在一个三角形内（图1），计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。（其

10、实学生如果会算自然数n项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60°得到图2，另一个顺时针旋转60°得到图3。先把图2和图3重合，得到图4。图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看，第一行两个数的和是8，第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。再把图4和图1重合，得到图5。从图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9，9=2×4＋

11、1。而10=1＋2＋3＋4=(1＋4)×4÷2。图5中所有数的和应是图1中所有数的和的3倍，所以图1中所有数的和=9×10÷3=（2×4＋1）×(1＋4)×4÷2÷3=4×(1＋4)×（2×4＋1）×1/6。即12＋22＋32＋42=4×(1＋4)×（2×4＋1）×1/6。观察这个算式，用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：12＋22＋32＋42＋……＋n2=n×(1＋n)×（2×n＋1）×1/6这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。