自然数平方和公式推导与证明 新课标

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1、自然数平方和公式的推导与证明新课标12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。   设：S=12+22+32+…+n2   另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n

2、+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+(n2+2×2n+22)+(n2+2×3n+32)+…+(n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52…+(2n-1

3、)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+(2n-1)2=(22×12-2×2×1+1)+(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22

4、×(12+22+32+…+n2)-2×2(1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+(3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)与(4)得：2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n     =n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]     =n(2n2+3n+1)

5、     =n(n+1)(2n+1)    S=n(n+1)(2n+1)/6亦即：S=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。                   由自然数平方和

6、公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)由(1)+(2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13               =(n+1)(n2-n+1)                   +              (n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)                   +     

7、         (n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)                   +                   .                   .                   .                   +              (n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+n2)即2S=(n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1)-3(n-2)-…-n(n-n+1)]………………...(3)由12+22+32+…+n2=n(n

8、+1)(2n+1)/6代入(2)得：2S=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)] =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)] =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+(n-1)] =(