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1、自然数平方和公式,2,^2,,m2_咖+1)(2«+1)1TLT•••T22一6(»+1)3_«3=3»2+3«+1,任何_然数n都成立。&把n=l.2.3,...,n-1,n代入止式可得23-1=312十31十1，33-23=3-22+3.2+1,43-33=3-32+3-3+1=3(«-1)2+3(«-1)十1,(«+1)?-«?=^2+^+1.把込n个*?;'人的K-)'l'jA边科AHI.Oil，_n个3人的々边；$项网两相消，最后只剩下&+前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加.提取
2、公W数后.第一列出现我们所要il•算的i数的Y•方和.第二列出现我们在上一段己经算过的前n个自然数的和.第•:列是n个1，W而手(«+1)3-1=3Sa+3^+1)+^,S=^4-22+•-•+”2.十十3«=3S„十3义+1)十«，+6?32+6«=6^+3n2+3n+2n,6Sa=2w3十3«2十《=乃(《十1)(2乃十1)，:.Sn=l«(w+l)(2«+l),6«(«+1)(2«+1)6.证明2设f+25+…+n:=An5+Bn:+Cn+D,令n=l,2,3,4得关于A,B.C。D的四元
3、一次方程组,可解得^=C=^,B=j,D=0,再用数学归纳法证明。证明3。设f(x)=(l+x)3+(1+x)9+…+(l+x)B,则x3的系数和为C?+ci+…+Cn[1=+2:+…+n=]-
4、(1+2+—+n)=[1:+25+…+n:]_n(n+l)(l+xj^d+x)0*1-AA7-.1^3-rFl-*-又f(x〉=:，其中x-的系数为CA，于是有X
5、[1=+2=+…+n5]—
6、n(n+l)=CA，解得-n(n+l)(2n+l)l'+2-+…+n=关于自然数平方和的几个模型自然数的平方和=
7、^(n+l)(2n+1〉有多种证明方法，除了用数学归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明模型1分祈求和數，k2(k=l，2,…，n表示k个和12+22+…+n2形式整齐.作一等边三角形，将各边分成n_l等份过分点作另两边的平行线，可以得到1+2+-A+n=
8、n(n+1)个分点q将求和数摆到三角形各交点上，k2摆在第k行的k个位置上，表示k个k之和(图1(1)).旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺汴成等差数列，再重叠三个数阵，则每
9、一点上的数字和为(2n+l).于是3gk2=-n(n+1)-(2n十1)1艮P=-n(n+l)®(2n+l)i-i图1模型1应用了k2的定义氓个^±和)与等差数列的性质，其中又渗透了运动的思想，动静结合，相得益彰.模型2k2(lc=l，2,…，…可表示为k2个单位正方形的面积。这k2个单位正方形排成k2XI的矩形.联想到求面积计算，就可利用图形割补、数形结合来证明.分别构造k2=(1,2,…，n)个单位正方形(图2)，从上到下各层依次放1?个，即求所有正方形面枳之和.现利用单位正方形将此图形补成一
10、个n2Xn的矩形.先给前n-i层各补(2n_l)个单位正方形，共补(n-1)(2n-l)个单位正方形；再给前n-2层各补(2n~3)个单位正方形，共补(n-2)(2n-3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正方形个数为1X3+2X5+…+(n_2)(2n_3)+(n_l)(2n-1).原有单位正方形个.所以k_l以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨.点作等边AA^C.分别过A2(2,0),As(3,0),…，，0作x轴的垂线，分別与相交。在过么，A2,
11、…，An的垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点.则这些质点对原点的力矩M=lXl+2X2+..-+nXn=I2+22+…+n2.另一方面，所有质点的重心就是等边AA:BC的重心，它到原点的距离为21-(n-l)+l=-(2rn-l)总重量1+2+A+n=—n（n+1）.所以M=-（2n十l）,3n（n十1）?（什lX2m数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉.数学问题的模型是多样的.通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题
12、和解决问题的能力.
