自然数的平方和

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1、1.1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6用数学归纳法：n=1时，1=1*2*3/6=1成立假设n=k时也成立，那么k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²那么n=k+11²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)所以1²+2²+...+

2、k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6=（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6即n=k+1时，也成立所以1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/62.前面在“求连续自然数立方和的公式”一文中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，的确有它的优越性。在“有趣的图形数”中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式　　　　　　　　　　　　　这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平

3、方和，列出下表：　　用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。这件事对我们教师有什么启示吗？有的，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养！这往往是培育创新思维的有效途径。3.在前面“有趣的图形数”中，曾经用图形法推出了求连续自然数立方和的公式：这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并

4、且更简单，更好理解。第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。 123451     2     3     4     5     第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。 123451123452246810336912154481216205510152025显然，所有乘积的和等于第三步：把所有乘积的和分成5块。这5块依次是：1＝13，2＋4＋2＝8＝23，3＋6＋9＋6＋3＝27＝33，4＋8＋12＋16＋12＋8＋4＝64＝43，5＋10＋15＋20＋25＋20

5、＋15＋10＋5＝125＝53。于是，所有乘积的和又等于13＋23＋33＋43＋53。这样，对比所有乘积和的两种表示法得到：    　　推而广之，就得到：       是不是比图形法更简单，更好理解？如果你对列表法有兴趣的话，请再看一下拙文“求连续自然数平方和的公式”与“求连续三角形数和的公式”，一定会有新的感触的。谢谢！　　4.一个自然数可以分解为3个质数的积,如果这3个质数的平方和是39630,求这个自然数?这个自然数是1990它的3个质因数是2,5,199思考分析:质因数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37

6、...........将所有的质因数平方后观察得4,9,25,49,121,169,289,361.......除了2同5的平方外其它的质因数的平方后的个位数都是1和9这三个质因数的平方和是39630(个位数是0)因此可知只有2同5的平方再同其它的平方相加才能得到一个个位数是0的数因此2同5是它的两个质因数那4+25+X^2=39630解得X=199所以这个自然数是1990(2*5*199)在一个繁体网站看到一篇文章讲据说下面是当初欧拉的解法：自然数平方倒数和1.jpg(22.25KB)2008-1-523:51自然数平方倒数和2.jpg(

7、26.35KB)2008-1-523:48