前n个自然数的平方和及证明

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1、帕斯卡与前n个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡（PascalB.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n个自然数的平方和。这个方法是这样的：利用和的立方公式，我们有（n＋1）3＝n3＋3n2＋3n＋1，移项可得（n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1，此式对于任何自然数n都成立。依次把n＝1,2，3，…，n－1，n代入上式可得23－13＝3•12＋3•1＋1，33－23＝3•22＋3•2＋1，43－33＝3•32＋3•3＋1，……………………………n3－（n－1）3＝3（n－1）2＋

2、3（n－1）＋1，（n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1，把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n＋1）3－1；而n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。因而我们得到（n＋1）3－1＝3Sn＋＋n，现在这里Sn＝12＋22＋…＋n2。对这个结果进行恒等变形可得n3＋3n2＋3n＝3Sn＋＋n，2n3＋6n2＋6n＝6Sn＋3n2＋3n＋2n移项、合并同类项可得6

3、Sn＝2n3＋3n2＋n＝n（n＋1）（2n＋1），∴Sn＝n（n＋1）（2n＋1），即12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）。这个方法把所要计算的前n个自然数的平方和与已知的前n个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。前n个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前n个连续自然数的平方和：的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好.我们先来计算：=

4、1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表①：122①333把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表②：332②321再把数表②顺时针旋转120度得到数表③：323③123观察①、②、③三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？不难发现：最顶层的三个数字是：1、3、3；第二行左侧三个数字是：2、3、2；第二行右侧三个数字是：2、2、3；第三行最左侧三个数字是：3、3、1；第三行中间三个数字是：3、2、2；第三行最右侧三个数字是：3、1、3.通过简单地计

5、算发现，上面每一组数字之和都是7.每个数表都是6个位置，所以三个数表数字之和：共6个7，而这三个数表的数字都是一样的（因为都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变），所以每个数表数字之和为：6×7÷3.而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排1个数，第二行排2个数；第三行排3个数，所以共排了：1+2+3=6个数字。所以=（1+2×3）×3×（3+1）÷6；同理也可以采用上面的方法推导出来：122333…………④nnnn…………nnnnnn顺时针旋转120度，得到：nnn-1nn-1n-2nn-1n-2n-3⑤……………

6、…nn-1n-2n-3………………4321把数表⑤再顺时针旋转120度，得到：nn-1nn-2n-1nn-3n-2n-1n⑥…………123…………n-1n三个数表对应位置数字之和都是：1+n+n=2n+1,每个数表共排数字：1+2+3+4+……n=n(n+1)÷2,所以三个数表数字之和：（2n+1）n(n+1)÷2,所以每个数表数字之和：.即.请大家用相同的方法证明：1×2+2×3+3×4+……+n×(n+1)=.