自然数平方和公式

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1、自然数平方和公式证明1。此式对于任何自然数n都成立。  依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。因而我们得到。现在这里         对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2。设12+22+…+n2=An3+Bn2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于

2、A，B，C。D的四元一次方程组，可解得A=C=，B=，D=0，再用数学归纳法证明。证明3。设f(x)=(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则x2的系数和为++…+=[12+22+…+n2]-(1+2+…+n)=[12+22+…+n2]--n(n+1)又f(x)=,其中x2的系数为,于是有[12+22+…+n2]--n(n+1)=，解得12+22+…+n2=关于自然数平方和的几个模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k个k之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(

3、2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n＋1)．于是   透了运动的思想，动静结合，相得益彰．割补、数形结合来证明．(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前n－2层各补(2n－3)个单位正方形，共补(n－2)(2n－3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．而添补的立方体个数为1×3＋2×5＋…＋n(2n＋1)，原有立方体个数  以

4、上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨．垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点．则这些质点对原点的力矩   数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．