自然数平方和公式的推导与证明

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1、※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由  1  +  2  +…+n-1  + n    n  + n-1 +…+ 2   + 1    （n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导　　一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即　　1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示：  ①②由①+②，得                      由此得到等差数列的前n项

2、和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。　　2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：  =                      =                      =                      =　　这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个

3、内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。   一、设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12

4、+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+(n2+2×2n+22)+(n2+2×3n+32)+…+(n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+

5、2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52…+(2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+(2n-1)2=(22×12-2×2×1+1)+(22×22-2×

6、2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2(1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+(3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)与(4)得：2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(

7、1+2+3+…+n)+n即：6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n     =n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]     =n(2n2+3n+1)     =n(n+1)(2n+1)  S=n(n+1)(2n+1)/6亦即：S=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位

8、自然数。由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13………