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1、关于自然数平方和公式的十种证明方法潮阳区谷饶中学张泽锋摘要：在《数列》的教学过程中，大家都能够熟练掌握前n个自然数的平方和公式：5/?=12+22+32+•••+h2=-/?(/?+1)⑵7+1),但涉及到如何进行推导证明，很多学生却无6从下手。为了让学生在理解的基础上掌握数学公式，特收集整理了如下关于自然数平方和公式的十种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面以期学生能够举一反三，并有所创新。关键词：自然数，平方和公式，十种证法，组合数性质，数学归纳法方法一：观察、猜想、数学归纳法证明对于自然数平方和公式的证明，通过观察、分析，得出猜想：=12+22+32+•••
2、+/22应该是一个与斤有关的一个多项式，不妨设=A/i3+B/i24-C/7+Z),分别取A+B+C+D=l归,2,3,4时，得到:8A+4B+2C+£>=527A+9B+3C+£>=1464A+16B+4C+D=30£>=0Sn=—/i3+—h2+—m=丄n(n+l)(2z?+1)"3266下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当"=1时，左边=12=1,右边=-xlx(l+l)x(2xl+l)=l,左边二右边6・・・当川=1时，原式成立.(2)假设当n=k(kwN+)时，F+2?+3?+•・・+/=丄£伙+1)(2£+1)成立,6则当n-k+时，左边+2^+3
3、2+•••+/+伙+1尸二丄心+1)(221)+伙+1尸6二伙+1)(丄疋+?比+1)3619=—(P+1)(2匕+7£+6)6二丄伙+1)伙+2)0+3)6二丄伙+1)[伙+1)4-1][2仗+1)+1]6左边=右边化当n=k+1时，原式也成立.・••由(1)、(2)可知，5,=12+22+32+42+•••+/Z2=-/?(/?+1)(2/?+1)对任意6方法二：观察规律法记S
4、(m)=1+2+3+4+5+•…+n,(斤)=1~+2~+3~+4~4-5"+•••+/?**n12345•••nS
5、(H)1361015•••如+1)2S2(n)15143055•••?
6、发现规律n12345•••nS2(n)S©)3353739311T•••2n+l3c/、2/7+1./、2/2+1n(n+l)/?(/!+1)(2/?+1)/.59(h)=5](/?)==-31326接着用数学归纳法很容易证明等式的正确性(同方法一)，这样就轻而易举地推出了前〃个自然数的平方和公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想一证明〃的思路。方法三：恒等式法这种方法借助于这个恒等式：(£+1)3-疋三3/+3R+1,分别将2,2,3,-n-1,n代入这个恒等式中的k,就得到一系列式子:23-13=3xl2+3xl+l33-23=
7、3x2?+3x2+l43-33=3x32+3x3+1/?3_(/?—1尸=3(〃一I)?+3⑺_1)+1(77+1)3-n3,=3n2+3/7+1将所得到的斤个等式的左右两边分别相加，可得到5+1)3_卩=3(1?+2?+3?+・・・+川2)+3(1+2+3+・・・+斤)+川即H3+3H2+3/2^3(l2+224-32+»-+/z2)+3-n(1^n)4-/i加以整理，易得1?+2?+3?+…+,『二丄〃⑺+1)(2〃+1)6方法四：巧用“1”法•・皿+1)=15+1)冷［叶2)-叶1)］皿+1)冷皿+1如2)十-1)巾+1)］•••An=Ix2+2x3+3x4+・
8、・・nx(〃+1)=」［lx2x3—0x1x2］+丄［2x3x4—1x2x3］+丄［3x4x5—2x3x4］+333•••+1[n{n+l)(n+2)-(〃-1)t?(h+1)]=-[1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x34-3x4x5-2x3x4+…+n(n+1)(/1+2)-(h-+1)]=-[n(n+1)(/?+2)-0x1x2]=—n{n+1)(/7+2)P+2~+3?+•••+〃〜=1x2+2x3+3x4+・・・z7X(〃+1)—(1+2+3+・・・+m)=-n{n+1)(〃+2)-""+D=—/?(/?+1)(2/?+1)326方法五：组合数性质法
9、（利用组合数公式C：+C：J=C；：,）vn矩形的宽即“，矩形的长：1+2+3+・・・+斤="（刃+»=匚乜22=n(n+1)-n=2C^+1-C・・・I?+2?+32+•・・+/?=(2C；—C：)+(2Cf—C；)+(2Cf—C；)+…(2C[—C：)=2(C；+C；+Cj+…C；])-(C；+C；+C；+・・・C：)=2(C；+U+U+…C：+J-(C；+C；+©+•••©)=2(C：+Cj+・・・C：+J-(C(+C；+・・・C：)-c2n+矩形面积:2n+nn2=2-(/?+2)(〃+1)/2(/?+1)H3x2x12x1=—n(n+l
