由自然数平方与公式推导自然数立方与公式

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1、自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6怎么推导？利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可1³-0³=3×0²+3×0+12³-1³=3×1²+3×1+13³-2³=3×2²+3×2+14³-3³=3×3²+3×3+1……(n+1)³-n³=3n²+3n+1∴(n+1)³＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)……Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6设S=1^2+2^2+....+n^2(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2

2、+3(n-1)+1........2^3-1^3=3*1^2+3*1+1把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1=3*[1^2+2^2+...+n^2]+3*[1+2+....+n]+n所以S=(1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)]=(1/6)n(n+1)(2n+1)方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用叠加法可得3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1.由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.方法2:由组合数

3、性质可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1),即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3,所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有

4、超出初中数学内容。   设：S=12+22+32+…+n2   另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+(n2+2×2n+22)+(n2+2×3n+32)+…+(n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)

5、+12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52…+(2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+(2n-1)2=(22×12-2×2×1+1)

6、+(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2(1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+(3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)与(4)得：2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(1+2+3

7、+…+n)+n即：6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n     =n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]     =n(2n2+3n+1)     =n(n+1)(2n+1)    S=n(n+1)(2n+1)/6亦即：S=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。由(5)代入(3)得自然数奇

8、数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。