自然数幂和公式推导

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1、自然数幂和作者：张明龙2018.05【摘要】本文开始先推导或者说证明了自然数幂和的公式形式，在此基础上，推导出了公式系数，并给出简化的自然数幂和公式形式。后通过推导得到公式系数之间的横向递推公式，利用伯努利数的特性推导得到公式系数之间的纵向递推公式。横向递推公式是直接计算自然数?次幂和公式的方法；纵向递推公式是由自然数k次幂和公式计算自然数?+1次幂和公式的方法。最后简单给出积分式、矩阵式公式。【关键字】组合积和、幂三角、Y数列、积分式、矩阵式【准备知识】1.无特别说明，本文中的小写字母都表示自然数（N）。2.排列?௠=∏௠(?−?+1)=?(?−1)(?−2)⋯(?−

2、?+1)௡௜ୀଵ约定：?଴=1௡3.组合?௠=?!/[?!(?−?)!]௡约定：?>?时，?௠=0௡4.组合公式??௦=(?+1)?௦ାଵ−(?+1)?௦(1)௡ା௥௡ା௥ାଵ௡ା௥?௥ାଵ=?௥ାଵ+?௥(2)௡ାଵ௡௡?௥+?௥+?௥+⋯+?௥=?௥ାଵ(3)ଵଶଷ௡௡ାଵ5.记?௞=∑௡?௞=1௞+2௞+3௞+⋯+?௞௡௠ୀଵଵభଶభS୬=?+?(4)మమ?ଶ=భ?ଷ+భ?ଶ+భ?(5)௡యమల?ଷ=భ?ସ+భ?ଷ+భ?ଶ(6)௡రమర【组合积和??】?设(?+1)(?+2)(?+3)⋯(?+?)=∑௡?௠?௡ି௠。其中?௠称为组合积和，可看作韦达定理的特例。௠ୀ

3、଴௡௡显然有?ଵ=?ଵ(7)௡௡?௡=?!(8)௡?଴=1(9)௡当?>?时，?௠=0(10)௡也显然有递推公式：?௠ାଵ=?௠ାଵ+(?+1)?௠(11)௡ାଵ௡௡1由(7)、(8)、(9)和(11)式就可以计算出?௠的值，如表1。௡?଴=1表1.组合积和?௠（部分）?௡ାଵ=0௡௡௡mn1234561123236116410355024515852252741206211757351624176472072832219606769131321306883654645362244967284118124945870945063273269325723680105513

4、201815015777390205534169301166192532670357423263755813339535127827175577074946369266344499023113913731910911474473166696531350364731410550051433252749747373122753684116151512065802184004899622785584809280957401613685003236808394022156952432218503142017153108124681801389658229965080648532

5、227641817113566662796223238225497892821024693727219190168159205503491694697394190020692933630nm789101112750408109584403209117270010265763628801084095001186590610628640362880011459957301043704061322769061205438403991680012206070150656319166138472177816069570121486442880479001600【幂三角??】?幂三

6、角?௜定义为：௞?ଵ=1，?଴=?௞ାଵ=0ቊଵ௞௞(12)?௜ାଵ=(?+1)?௜ାଵ+(?+1−?)?௜(?=0,1,2,⋯⋯)௞ାଵ௞௞易得?ଵ=1௞?௞=1௞由?௜的定义可以计算出?௜的值，如表2。௞௞2?଴=0表2.幂三角?௜（部分）?௞ାଵ=0௞௞௞ki12345611211314141111115126662616157302302571711201191241611911208124742931561915619429391502146088823415619088234101101347840455192131035413103541112036152

7、6372203488973811415724248ki78910111271824719146085021104551924784010131119738114220348815263720361下面证明幂三角的几个重要性质。1.?௜=?௞ାଵି௜(13)௞௞证明：①当?=1，2；?=1时，Zଵ=1=Zଵାଵିଵ，Zଶ=0=Zଵାଵିଶଵଵଵଵ即此时，原式成立。②假设?=?，?+1(?≥1)；?=?(?≥1)时，原式成立，即௣௤ାଵି௣ଵା௣௤ି௣?௤=?௤，?௤=?௤则௣ାଵ௣ାଵ௣ି௤?௤ାଵ=(?+1)?௤+(?+1−?)?௤(利用