自然数幂次方与公式

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1、自然数幂次方和的另一组公式摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用表示，本文给出了自然数幂次方和用表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n的多项式表达，而每一个多项式均可用表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用表达出来。假设自然数幂次方和可以写成以下形式。。。。。。（1）那么同理可应有：那么：因为对于充分大的自然数n均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n的p次多项式，其中：这

2、仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关,n可为任意的数。分别令n=1,2,3，。。。。p-1时就有：。。。。。。。。（2)。。。。。。。。（3）这是一个递推的数列，其中A1=1，很显然，通过它可以求出所有的系数，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数At的表达式呢，下面给出这个结论。引理：。。。。。。。（4）证明：令：令k=i+j的，则j=k-i，同时两边分别乘以，那么。。。。。。（5）因为有：因此（5）式可以变换为：证毕。定理

3、：。。。。。。（6）证明：（1）当k=1时，由（3）式得，代入定理公式中，可知结论成立。（2）假设当k