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1、本科毕业论文自然数幂求和公式的存在与规律探讨SUMFORMULAOFPOWEROFNATURALNUMBER'SEXISTENCEANDREGULARITY学院（部）：理学院专业班级：08-2数学与应用数学学生姓名：张兴刚指导教师：范自强2012年6月1日17自然数幂求和公式的存在与规律探讨摘要自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦
2、从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间17Sumformulaofpowerofnaturalnumber'sexistenceandregularityAbstractNaturalnumberpowersumisanancientmathematicalproblems,thisarticlefromthelinearspacesetsout,putforwardonpolynomialnaturallinearspace,linearspaceofthe
3、simplenature,itisprovedthatforanypositiveintegersumformulaofpowerofnaturalnumberexists,andthesimplerule;summarizesumformulaofpowerofnaturalnumberinawonderfulconclusioncoefficienttheorem,putthingsrightonceandforallsolutionsandrevealsthenaturalnumberpowersumproblemconnotation;thispape
4、ralsofromlinearspatialangle,putforwardtheconceptoffreespace,isanaturalnumberpowersumproblembroughtanewperspective.Keywords:naturalnumberpowersum,naturallinearspace,polynomialcoefficienttheorem,freelinearspace17目录一、自然数幂求和公式的存在性11自然线性空间12基本初等公式13自然数幂求和公式的存在性证明2二、自然数幂求和公式的系数定理31系数规律的研究
5、与猜想32系数定理的证明52.1系数定理的归纳证明52．2系数定理的几条重要推论63系数定理的运用73.1系数定理求和73.2常见的自然数幂求和公式8三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究91自由线性空间92自由向量的性质93、自由向量的运用113.1求和113.2自然数幂求和公式12四、自然数幂求和公式的VB编码13参考文献：1717一、自然数幂求和公式的存在性1自然线性空间定义：由一切形如（mN,i，）的多项式作为元素构成的线性空间，称为自然线性空间,记作G.2基本初等公式首先我们由二项式定理以及复合求和的性质，得一下推论：则有：化简得，基本初等公式：1
6、73自然数幂求和公式的存在性证明猜想：，且为m+1次多项式。下面我们从自然线性空间出发，利用数学归纳法证明自然数幂求和公式的存在。证明：1)已知当k=0时，,且为k+1次多项式.2)若km时，,且为k+1次多项式，由基本初等公式得：则显然为m+1次多项式，为m+2次多项式，则,且为m+2次多项式.3）、由1），2）可知，，且为m+1次多项式.存在性定理：，且为m+1次多项式。定义：由存在性定理，我们称m次自然数幂求和公式中，的系数为m级p次系数，记为。则自然数幂求和表达式为：17二、自然数幂求和公式的系数定理1系数规律的研究与猜想由基本初等公式自然数幂求和表达
7、式将自然数幂求和表达式代入基本初等公式，两边同时取的系数，可得推论一：推论二：由推论二，令p=m+1,则，化简得；令p=m,则，17化简得；令p=m-1,则，化简得；令p=m-2,则化简得；令p=m-3,则，；由以上结果可以看出17由以上结论，系数猜想.2系数定理的证明2.1系数定理的归纳证明以下利用数学归纳法，结合推论证明系数猜想证明：对于任意的，定义间距r=m+1-p,,1)当间距r=0时，p=m+1,,满足.2)若当间距满足时，即，总有，由推论，令r=k+1,即p=m-k，有则由推论二得:17代入得化简得即间距r=k+1时，仍然有.3）、由1），2）综上
8、分析，可知总有，.故得出自然数幂求和系
