重心原理在自然数幂和公式证明中的应用

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1、数学通讯一2014年第6期(下半月)·课外园地·II=II=IMC1=IMDl2．故当C-(一1，0)U(0，+oo)时，A，B，C，D四丢[1-1)川]·十号[1点均在以M(一3，6)为圆心、2为半径的圆上．+(_1)=ln2+nq一．13．(1)因为数列{a}为单调递增数列，a1：2(2)因为口=12++≤丢z+>0，所以口>O(∈N)．由题意得2a2=0-2”一1+a2”+1，口ln+1=0-2n·+1=<丢(+2)(+3)，所以a2n+2，于是2a2：~／—a2n-—20-2n+Va2na2n+2，化简麦>：4(上—n+—2一13)，得2=+，所以数列{}Sn

2、=11’++为等差数列．又a3=2a2一口：6，0．4==9，所以“。口去+．．．+数列{}的首项为v厂=2，公差为d=一>4[(号一1)+(1一了1)+⋯1~／广=1，所以=11．+1，从而n2=(，z+1)．+一1)+1一)]结合口i一1：口2一20-2n可得0-2一l=(扎+1)．=4‘了1一1)=，因此，当为偶数时：÷(+2)，当为奇所以s>，nEN．数时an：上．所以数列{an}的通项公重心原理在自然数幂和公式证明中的应用赖巧芳，2范琼(1华中师范大学数学与统计学院，430079)(2广州大学附属中学，510050)1．引言拉伯的阿尔一卡希等都分别得到过二次

3、幂或三次幂自然数幂和的求和公式，后者还得到过四次幂和公式．在中国，由沈括《梦溪笔谈》卷18“刍童垛”公式s)=∑足=1m+2+3十⋯十扎m1可以导出杨辉《详解九章算法》中的“四隅垛”公式：是一个古老的数学问题，但幂和公式至今仍是一个不少人争相探讨但尚未得出理想结论的问题(文12+22+⋯+7z2=告(+1)，z(+—)．[1])．莱布尼茨在1673年的一封信中提到用差分方古希腊阿基米德提出过自然数平方和公式s)法处理自然数立方和问题，并提出这个发现归功于=±法国穆顿(文[3])．实际上，用差分方法已经可以解，尼可曼丘(文[2])由13=1，23决自然数正整数次幂和所有

4、问题了．=3+5，30=7+9十11，4。=13+15+17+19，即把1整数立方剖分为若干连续奇数和，从而归纳出自然。k：耋ij=z+1(≥1且为整，扣0，l十1J数立方和公式．数)．印度的婆罗门笈多、马哈维拉、巴斯卡拉以及阿其中△为差分算子，0为零的差分，即位的质量，简记为A(P)，B(q)，又A、B的距离为AJom：壹(一1)1LtJd，则质点组(记作{A(p)，B(q)})的重心G的位置几个世纪过去了，随着人类科技、文化的不断发由展，自然数幂和的内涵不断被诠释．历史上很多数学P’AG=q。GB家研究过它，包括高斯、费马、牛顿、伯努利、李善兰、确定，或者记作夏鸾

5、翔、华蘅芳等等，研究者们致力于寻找更为简AG旦百：g一：洁、巧妙的求和方法，所以至今自然数幂和问题依然GBPABP+q’是研究的热点问题之一．即质点组的重心在两质点连线上，且到两质点的距另一方面，近代物理学不仅为数学提供了新的离与这两点的质量成反比．思想和方向从而产生出新的数学分支，而且为某些2．2重心计算公式数学命题的证明提出了巧妙的思路和简单的办法．对于多个质点组成的质点组来讲，可先两两求出它们的重心，再把这些重心视为新的质点(质量为例如物理学中的重心原理常常被用来解决一些数学原来两质点的质量之和)，再去求它们的重心，⋯⋯，问题．吴振奎(文[4])用重心原理巧妙地

6、证明了切比这样最后可求得整个质点组的重心．雪夫不等式和柯西不等式，孙晓莹(文[5])用重心原例1在一个没有重量的细棒上坐标为1，理中的杠杆原理解决一类几何问题，根据正多边形n2，⋯，n的点处系上质量分别为1，P2，⋯，的的重心在中心，所以中心在原点的正多边形的各项顶点的横坐标的和为零，纵坐标的和也为零，当正多重物，则由力系平衡的条件得到该系统的重心坐标边形内接于单位圆时，导出关系式n∑-Icos(。+)为=n∑-Isin(+)：0：’^=一者1+2+⋯+p②I一J，罗华(文[6])用该式子解决例2考虑正三角了角成等差数列的一类三角函数的值，王维芳(文<<<形A33C，

7、其中顶点A的／[7])利用递推关系给出了自然数k次方幂和的一<<>坐标为且在直线z上，<<＼A／<，4n种简捷算法，其中用到一个重要组合恒等式：A是BC的中点，它的坐>一1f(+1)一1：c1，I+1s)+cL+1s一)+<><标为口+(一1)，将AA<＼<⋯+c}s+G+1s)+①<均分为一1份，分点分证明(n+1)1—1别为A2，A3，⋯，A一1，图1=∑(i+1)一∑i再将ZxABC各边均分为一1份，且通过各分点作与三边平行的直线段，得=[(i+1)1一i]一系列小正三角形(图1)．=+1i+cL+1i一十⋯在每个小正三角形顶点上分别放置单位质