泰勒公式在不等式证明中的应用

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1、泰勒公式在不等式证明中的应用【摘要】泰勒公式在数学分析里有着重要的地位，并且可以给一些高数题目的求解带來便利。本文介绍了泰勒公式在一般不等式、积分不等式、导数不等式方面的应用，总结出泰勒公式在证明一般不等式、积分不等式、导数不等式的思路。【关键词】泰勒公式；不等式一、引言多项式函数是各类函数屮最简单的函数，泰勒公式建立了一般函数与多项式函数的联系。研究泰勒公式，对于我们解决许多数学题目有重要意义。泰勒公式的重要结论如下：定理1若函数f(x)在点xO存在直至n阶导数，则有f(x)二Tn(x)+o((x~xO)n)(1)其中Tn(x)二f(xO)+f‘(xO)(x~xO)+(x-xO

2、)2+・・・+(x-xO)n为泰勒多项式，而o((x-xO)n)为佩亚诺型余项，(1)式为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。定理2若函数f(x)在[a,b]存在直至n阶连续导函数，在(a,b)存在n+1阶导函数，则对任意给定的x,xOe[a,b],至少存在一点gu(a,b),使得f(X)=Tn(X)+(x-xO)n+1(2)其中Tn(x)同定理1相同为泰勒多项式，而(x-xO)n+1为拉格朗日余项，(2)式为带有拉格朗曰余项的泰勒公式。一些文献对泰勒公式的应用，如求函数的近似值、求函数的极限、求函数在某点的高阶导数值等，本文着重介绍泰勒公式在证明不等式中的应用，帮助学生系统掌握这部分知

3、识。二、在证明一般不等式方面的应用泰勒公式在证明一般不等式的题冃类型条件约束较低，一般题冃中函数只要二阶或二阶以上可导，就可以考虑使用泰勒公式。例1(哈尔滨工业大学，北京科技大学)设f(x)在［a,b］上二阶可微，f"(x)<0o试证:?a^xlkif(xi)证明：因f(x)在［a,b］上二阶可微，从而f(x)用泰勒公式展开到二阶f(x)=f(xO)+f‘(xO)(x-xO)+(x-xO)2泰勒公式证明题目的时候要选择恰当的x,xO,本题屮选择x=xi,xO二kixi从而上式为：f(xi)=f(kixi)+f‘(kixi)(xi-kixi)+(xi-kixi)2

4、f‘(kixi)(xi-kixi)(i二1,2,…n)将ki乘上式两端，然后n个不等式相加，得岀：kif(xi)

5、,试证：f"(x)NO证明：因f(x)有二阶导数，从而f(x-h),f(x+h)用泰勒公式展开到二阶f(x~h)二f(x)-fz(x)h+h2+o(h2)f(x+h)=f(x)+f‘(x)h+h2+o(h2)上面两式相加并除以2,得出[f(x-h)+f(x+h)]二f(x)+h2+o(h2)由已知条件f(x)W[f(x-h)+f(x+h)]上式可以得出h2+o(h2)$O?+$O令h-0取极限得出f〃(x)20通过例1,例2可以总结出用泰勒公式证明一般不等式的解题思路:(1)按照已知条件，通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数；(2)泰勒公式展开后要选择适合的，关于的选择需要

6、一定解题经验，应该加强这方面的积累；(3)根据已知条件对泰勒展式进行适当缩放。三、在证明定积分不等式方血的应用泰勒公式在证明定积分不等式的题目类型与证明一般不等式的条件相同，条件约束也较低，一般题冃屮函数只耍二阶或二阶以上可导，就可以考虑使用泰勒公式。例3设f(x)在[a,b]上单调增加，且f"(x)>0?证：(b-a)f(a)0,可以

7、得出f(t)>f(x)+f‘(x)(t-x)分别取t二a,t二b,带入上式得出f(a)>f(x)+f‘(x)(a~x)f(b)>f(x)+f‘(x)(b~x)将上面不等式组左右相加，得出f(a)+f(b)>2f(x)+(a+b)fr(X)-2xf‘(x)两边同时求定积分[f(a)+f(b)dx>2f(x)dx+(a+b)fz(x)dx~2xf7(x)dx?[f(a)+f(b)](b~a)>2f(x)dx+(a+b)[f(b)-f(a)]-2xdf(x)?[f(a)+f(b)](b