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1、浙江科技学院学报,第22卷第3期,2010年6月JournalofZhejiangUniversityofScienceandTechnologyVol.22No.3,June2010DOI:10.3969/j.issn.16718798.2010.03.002泰勒中值定理在不等式证明中的应用严永仙(浙江科技学院理学院,杭州310023)摘要:从不等式的特点出发,应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况:区间的中点,已知区间的两端点,函数的极值点或最值点,已知区间的任意点。同时对各种情况的运用范围和特点作了说明,以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式。关键词:
2、泰勒中值定理;不等式;定积分;展开点中图分类号:O172文献标识码:A文章编号:16718798(2010)03016406ApplicationofTaylorsmeanvaluetheoreminproofofinequalitiesYANYongxian(SchoolofScience,ZhejiangUniversityofScienceandTechnology,Hangzhou310023,China)Abstract:Fromthecharacteristicsoftheinequality,theselectedsituation
3、softheexpansionpointinTaylorformulaaregivenbymeansofpracticalexamples:amidpointoftherange,twoendpointsoftheknownrange,theextremepointsofthefunctionorthemostdatapointsofthefunction,andanypointattheknownrange.Thecharacteristicsandscopeofapplicationinvariouscasesarealsoexplainedinordertoma
4、kebetteruseofTaylorsmeanvaluetheoremtoproveinequality.Keywords:Taylorsmeanvaluetheorem;inequality;definiteintegral;expansionpoints不等式的证明不仅形式多种多样,而且证明方法多变,常见的方法有:利用函数的单调性证明,利用微分中值定理证明,利用函数的极值或最值证明等。在众多方法中,利用函数的单调性、拉格朗日中值定理证[14]明不等式,学生还能理解和掌握;但利用泰勒中值定理证明不等式(尤其是某些含抽象函数的不等式)比较困难,无从入手,思维受阻
5、。探究其原因:一是泰勒中值定理的内容本身难理解;二是用此法证明不等式对泰勒公式中展开点x0的选取很有讲究,需要因势而变。有关这些内容,一般的高等数学教材及文献很少涉及,然而,利用泰勒中值定理证明某些含抽象函数的不等式,其优势是其他方法无可替代的。那么能否收稿日期:20100108基金项目:浙江科技学院教学研究项目(200911Ba52)作者简介:严永仙(1966),女,浙江临安人,副教授,主要从事高等数学的教学与研究。第3期严永仙:泰勒中值定理在不等式证明中的应用165找到一个有效的方法和技巧来掌握泰勒公式中展开点x0的选取呢?笔者通过长期的探讨发现,泰勒公式
6、中展开点x0的选取还是有一定规律的。本文的目的是应用一些实际范例来归纳泰勒公式中展开点x0的选取规律,同时对各种情况的运用范围和特点作出说明,以便更好地运用泰勒中值定理来证明不等式。1泰勒中值定理的内容[5]泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内有直到n+1阶导数,则对任一点x0(a,b),有(n)(n+1)f∀(x0)2f(x0)nf()n+1f(x)=f(x0)+f!(x0)(x-x0)+(x-x0)+#+(x-x0)+(x-x0)2!n!(n+1)!其中是x0与x之间的某个值,上式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式。下面就
7、泰勒中值定理中函数展开点x0(a,b)的不同情况来证明不等式。2展开点x0选取区间的中点情况选区间中点展开是较常见的一种情况,然后在泰勒公式中取x为适当的值,通过两式相加,并对某些项进行放缩,便可将多余的项去掉而得所要的不等式。下面以实例说明。例1设在区间(a,b)内,f∀(x)>0,试证:对于(a,b)内的任意2个不同点x1和x2,有x1+x2f(x1)+f(x2)f<。22x1+x2证明将f(x)在x0=处展开,得2f∀()2f(x)=f(x0)+f!(x0)(x-x0)+(x-x0)2!其中是x0与x之间的某个值。上式中分
