泰勒公式证明与应用

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1、本科生毕业论文（设计）册学院专业班级学生指导教师论文编号II目录中文摘要、关键词………………………………………………（Ⅱ）绪论………………………………………………………………（1）一、泰勒简介………………………………………………………（1）二、泰勒公式的证明………………………………………………（2）2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式………………………………（2）2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式……………………………（3）2.3几种常见函数的展开式………………………………………（4）三、泰勒公式应用…………………………………

2、…………………（5）3.1应用泰勒公式求极限…………………………………………（5）3.2利用泰勒公式证明不等式……………………………………（7）3.3利用泰勒公式判断级数、积分的敛散性……………………（11）3.4利用泰勒公式证明根的唯一存在性…………………………（13）3.5利用泰勒公式证明函数极值…………………………………(14)3.6利用泰勒公式近似计算求值…………………………………（14）3.6.1对函数的近似计算………………………………………（14）3.6.2求高阶导数在某些点的数值………………………………（16

3、）3.6.3求行列式的值………………………………………………（17）II参考文献……………………………………………………………（20）英文摘要、关键词…………………………………………………（Ⅲ）II泰勒公式的证明与应用摘要本文主要介绍了泰勒公式及其常见的几个函数展开式。在微积分学中，泰勒定理，是给出了一个近似k次可微函数，通过给定k-阶泰勒多项式点周围。对于解析函数在某一点的泰勒多项式是有限阶泰勒级数，这完全决定在一些点附近的函数。泰勒公式的初衷也就是用多项式来近似表示函数在某一点周围的情况，从而可以将复杂的函数在定义域内

4、某一具体点展成我们熟悉的多项式，也即用一个多项式函数去逼近原函数，将误差控制在我们需要的范围内，从而更加有利于我们简化计算、思维方式，从而得到我们想要的答案来解决问题。以下我们针对泰勒公式讨论8个问题，即泰勒公式的表达形式，泰勒公式的证明，几种常见函数的泰勒展开式，应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性，判断函数极值。关键词泰勒多项式极限不等式收敛II泰勒公式及其应用绪论对于一些比较复杂难以处理的函数,为了方便研究,我们往往希望用一些简单的函数来近似地表达。我们知道多项式函数是最为简单的一类函

5、数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出函数值。因此,多项式函数经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近法。英国著名数学家泰勒（Taylor.Brook,1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献。他的研究结果表明:存在直到阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值和各阶导数值组成的次多项式构成的级数近似表达。本节我们将介绍泰勒公式及其简单的应用。泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究

6、其他数学领域问题的有力杠杆。为此通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真地演算,其中少数难度较大的题目的证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结。由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,采用了大量的例题进行讲解说明的。一、泰勒（Taylor,Brook，1685~1731）简介泰勒(Taylor,Brook)是英国著名的数学家。1685年8月18日出生在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市，1731年12月29日卒于伦敦。泰勒出生于英格兰一个富有且有点贵族血统的家庭。父亲约翰来自肯特郡的比

7、夫隆家庭。泰勒是家中长子。进大学之前，泰勒一直在家里读书。泰勒全家尤其是他的父亲，都特别喜欢音乐和艺术，经常在家里招待艺术家。这对泰勒一生的工作造成的极大的影响，从他的两个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出来。1701年，泰勒进剑桥大学圣约翰学院学习。1709年，他获得法学学士学位。1714年获法学博士学位。1712年，他被选为英国皇家学会会员，同年他进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论委员会。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年

8、，因和一位据说是出身名门，但没有财的女人结婚，遭到父亲的严厉反对，他只好离开家庭。两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里，1725年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于1729年继承了父亲在肯特郡的财产。1730III年，第二个妻子也在生产中死去，不过这一次留下了一个女儿。妻子的死深深地刺激了他，第二