多元视角下的幂和公式推导

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1、2013年第52卷第l1期数学通报43多元视角下的幂和公式推导沈金兴(浙江省桐乡市风呜高级中学3145oo)1引言线弓形的面积、球、两直交圆柱公共部分立体(牟自然数幂和是指：1p+2p+⋯+7z(P为正整合方盖)等的体积．阿基米德的想法为我们今天的数)，在高中数学里，经常会遇到的是P一1，2，3数学学习提供了借鉴：一个数学结果有时可以借这三种情形．以人教(07年)版为例，一次幂和是助力学等原理和思想来推导或证明．下面就用物在《必修5》的2．3节“等差数列的前项和”这一理学中的力学知识来推导一次幂和与两次幂和节出现，二次幂和是在2．5节“等比数列的前n项公

2、式．和”例3的一个旁注中出现，而三次幂和也是在物理学储备知识：l_力矩一力×力臂；2．一个《选修2—2》的1．5．3节的例1旁注中出现．当质点系的力矩之和等于这个质点系的质量集中在然，一次幂和可用等差数列求和公式求得，但二重心位置的力矩．次、三次幂和教材上只给出公式，即便是在《选修2．1一次幂和公式推导2—2》的2．3节“数学归纳法”中正式进行了证明，如图1，建立一个直角坐标系，在正半轴标上学生心中仍会有疑惑：这些公式到底是怎么得来1，2，3，4，⋯，．在点1处放上1个单位质量的质的?因为用数学归纳法证明，实际上已给出了公点；在点2处放上1个单位质量的质

3、点，在点3处式，无非要证明成立而已，至于为何公式是这样放上1个单位质量的质点，这样一直放下去，最后的，教材上没作任何交待，因而学生会感到不自在点处放上1个单位质量的质点．这时，质点系然，觉得数学有些知识似乎是从天上掉下来的．因关于Y轴的力矩是：l+2+3+⋯+．此有必要给出它们的推导．对于幂和公式的推导，方法很多，尤其是二次幂和公式的推导更是方法繁多．但纵观这些方法，大多数是以代数方法为主[1J，有的甚至还涉及高0123一1"等数学知识．那能否不单纯用代数方法，而用其它中学生能理解的知识来推导呢?答案是肯定的．事实上，笔者已在课堂上作过尝试，借鉴“毕达哥

4、圈1拉斯学派”中的“形数理论”来推导一次与二次幂而这个质点系的重心位置，即就是线段的中和公式_2]，效果很好．本文仍借鉴或介绍古代数学点，为，所以此时质点系的力矩是丛家的方法，从物理学和几何学的多元角度来推导．，其实笔者在高一第二学期的校本选修课上已进行于是就有1+2+3+⋯+n-丛，得出了一了课堂实践，学生反应不错．下面就把这些方法简述一下，以求抛砖引玉．次幂和公式．2物理学视角下的幂和公式推导2．2二次幂和公式推导古希腊大数学家阿基米德(Archimedes，前类似于一次幂和的推导方法，构造出关于二次幂和的物理模型．如图2，在直角坐标系中，在1287

5、～212)，在人们只掌握初等数学的时代，他却解决了初等数学无能为力的许许多多难题：抛物处放上1个单位质量的质点；在点2的上下方放44数学通报2013年第52卷第11期上2个单位质量的质点，它们关于轴对称，距离3几何视角下的幂和公式为1；在点3处及其上下方放上3个单位质量的几何法是指用几何方法研究代数问题，始创质点，上下两点关于z轴对称，相邻两个质点之间于古希腊人，最早也可上溯到毕达哥拉斯学派．以的距离为l，这样一直放下去，最后在点处及其后许多数学家用几何方法来求解一元二次方程，上下方放上”个单位质量的质点，上下方的质点这也包括后来的阿拉伯数学家，他们尤其

6、是对自两两关于轴对称，且相邻两质点之间的距离为然数幂和公式有独到研究．公元5、6世纪，印度数1．这时，质点系关于轴的力矩就是：1。+2+学家阿耶波多(Aryabhata，476～550)在其著作3+⋯+．中就载有二次、三次幂和公式，后来的婆罗摩笈多(Brahmagupta，598～670)、摩诃毗罗(Mahavira，●9世纪)和婆什迦罗(Bhaskara，1114～1185)的数●学著作中也都出现了一次、二次、次幂和公●●式_3J．下面以三次幂和公式推导为例．●●(1)正方形法●●●11世纪，阿拉伯数学家阿尔卡克西(A1一Karkhi，●●●953～1

7、029)在他的著作中出现了j=三次幂和公式：D2了-1●●●l。+2s+3。+⋯+。一『丛．]．阿尔卡克两●●●LJ●●用富有希腊特色的几何法对该公式作出了证明．●●构造如图3所示，设AB是正方形AC之一边，使●BB1一，B】B2一一1，B2B3一一2，⋯，因此有●AB=1+2+3+⋯+一．在AB1，AB2，图2厶⋯上作正方形AC1，AC2，⋯，得一1个矩尺形此时，三角形的重心为正三角形的巾心，而三BCD，BCD，BC。D，⋯．因此矩尺形BCD顶点坐标分别是(1，0)，(，h)，(7"／，h)，故重心的面积为：为f，01，由此得质点系的力矩为、J，(1-

8、-2H-3-F⋯+)一，O于是得出二次幂和公式：1z+2z+3z+⋯+z一±．b