多元视角下的幂和公式推导_沈金兴

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1、２０１３年第５２卷第１１期数学通报４３多元视角下的幂和公式推导沈金兴（浙江省桐乡市凤鸣高级中学３１４５００）１引言线弓形的面积、球、两直交圆柱公共部分立体（牟自然数幂和是指：１ｐｐｐ（ｐ为正整合方盖）等的体积．阿基米德的想法为我们今天的＋２＋…＋ｎ数），在高中数学里，经常会遇到的是ｐ＝１，２，３数学学习提供了借鉴：一个数学结果有时可以借这三种情形．以人教（０７年）版为例，一次幂和是助力学等原理和思想来推导或证明．下面就用物在《必修５》的２．３节“等差数列的前ｎ项和”这一理学中的力学知识来推导一次幂和与两

2、次幂和节出现，二次幂和是在２．５节“等比数列的前ｎ项公式．和”例３的一个旁注中出现，而三次幂和也是在物理学储备知识：１．力矩＝力×力臂；２．一个《选修２－２》的１．５．３节的例１旁注中出现．当质点系的力矩之和等于这个质点系的质量集中在然，一次幂和可用等差数列求和公式求得，但二重心位置的力矩．次、三次幂和教材上只给出公式，即便是在《选修２．１一次幂和公式推导２－２》的２．３节“数学归纳法”中正式进行了证明，如图１，建立一个直角坐标系，在正半轴标上学生心中仍会有疑惑：这些公式到底是怎么得来１，２，３，４，…

3、，ｎ．在点１处放上１个单位质量的质的？因为用数学归纳法证明，实际上已给出了公点；在点２处放上１个单位质量的质点，在点３处式，无非要证明成立而已，至于为何公式是这样放上１个单位质量的质点，这样一直放下去，最后的，教材上没作任何交待，因而学生会感到不自在点ｎ处放上１个单位质量的质点．这时，质点系然，觉得数学有些知识似乎是从天上掉下来的．因关于ｙ轴的力矩是：１＋２＋３＋…＋ｎ．此有必要给出它们的推导．对于幂和公式的推导，方法很多，尤其是二次幂和公式的推导更是方法繁多．但纵观这些方法，［１］大多数是以代数方法为

4、主，有的甚至还涉及高等数学知识．那能否不单纯用代数方法，而用其它中学生能理解的知识来推导呢？答案是肯定的．事实上，笔者已在课堂上作过尝试，借鉴“毕达哥图１拉斯学派”中的“形数理论”来推导一次与二次幂而这个质点系的重心位置，即就是线段的中［２］和公式，效果很好．本文仍借鉴或介绍古代数学ｎ＋１ｎ（ｎ＋１）点，为，所以此时质点系的力矩是，家的方法，从物理学和几何学的多元角度来推导．２２其实笔者在高一第二学期的校本选修课上已进行ｎ（ｎ＋１）于是就有１＋２＋３＋…＋ｎ＝，得出了一了课堂实践，学生反应不错．下面就把

5、这些方法简２述一下，以求抛砖引玉．次幂和公式．２．２二次幂和公式推导２物理学视角下的幂和公式推导类似于一次幂和的推导方法，构造出关于二古希腊大数学家阿基米德（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ，前次幂和的物理模型．如图２，在直角坐标系中，在１２８７～２１２），在人们只掌握初等数学的时代，他却处放上１个单位质量的质点；在点２的上下方放解决了初等数学无能为力的许许多多难题：抛物４４数学通报２０１３年第５２卷第１１期上２个单位质量的质点，它们关于ｘ轴对称，距离３几何视角下的幂和公式为１；在点３处及其上下方放上３个单位质量的

6、几何法是指用几何方法研究代数问题，始创质点，上下两点关于ｘ轴对称，相邻两个质点之间于古希腊人，最早也可上溯到毕达哥拉斯学派．以的距离为１，这样一直放下去，最后在点ｎ处及其后许多数学家用几何方法来求解一元二次方程，上下方放上ｎ个单位质量的质点，上下方的质点这也包括后来的阿拉伯数学家，他们尤其是对自两两关于ｘ轴对称，且相邻两质点之间的距离为然数幂和公式有独到研究．公元５、６世纪，印度数２２学家阿耶波多（Ａｒｙａｂｈａｔａ，４７６～５５０）在其著作１．这时，质点系关于ｙ轴的力矩就是：１＋２＋２２中就载有二次、

7、三次幂和公式，后来的婆罗摩笈多３＋…＋ｎ．（Ｂｒａｈｍａｇｕｐｔａ，５９８～６７０）、摩诃毗罗（Ｍａｈａｖｉｒａ，９世纪）和婆什迦罗（Ｂｈａｓｋａｒａ，１１１４～１１８５）的数学著作中也都出现了一次、二次、三次幂和公［３］式．下面以三次幂和公式推导为例．（１）正方形法１１世纪，阿拉伯数学家阿尔卡克西（Ａｌ－Ｋａｒｋｈｉ，９５３～１０２９）在他的著作中出现了三次幂和公式：２３３３３ｎ（ｎ＋１）１＋２＋３＋…＋ｎ＝［］．阿尔卡克西２用富有希腊特色的几何法对该公式作出了证明．构造如图３所示，设ＡＢ是正方形ＡＣ

8、之一边，使ＢＢ１＝ｎ，Ｂ１Ｂ２＝ｎ－１，Ｂ２Ｂ３＝ｎ－２，…，因此有ｎ（ｎ＋１）ＡＢ＝１＋２＋３＋…＋ｎ＝．在ＡＢ１，ＡＢ２，图２２…上作正方形ＡＣ，ＡＣ，…，得ｎ－１个矩尺形１２此时，三角形的重心为正三角形的中心，而三ＢＣ１Ｄ，Ｂ１Ｃ２Ｄ１，Ｂ２Ｃ３Ｄ２，…．因此矩尺形ＢＣ１Ｄ顶点坐标分别是（１，０），（ｎ，ｈ），（ｎ，－ｈ），故重心的面积为：２ｎ＋１为，０，由此得质点系的力矩为（３）（２ｎ＋１）ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（１＋２＋３＋…＋