自然数数列平方和另种推证

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1、我的自然数平方和数列的推导方法看了很多别人的推导方法，自己也跃跃欲试，还真发现了一个，自认为这个办法应该还没有在网上出现过，就拿来分享了。1+2+3+…+n，第一步进行拆分原式=1×[n-(n-1)]+2×[n-(n-2)]+…+(n-1)(n-1)+n×n=1×n-(n-1)+2×n-2×(n-2)+…+(n-1)n-(n-1)+n×n=(1+2+3+4+…+n)n-(n-1)-2×(n-2)-….-(n-1)=（1+2+…+n）n-[(n-1)+2×(n-2)+…+(n-1)]下面就是重要的第二

2、步，在此之前要说明一下，不然可能就不容易看明白了。实际上到现在为止中括号里面的两边的形式是一摸一样的。但是，要把它变得不一样才行，于是，我将后半部分用加法的形式表现了出来，如最后一项（n-1）拆分成n-1个1相加，同理，将倒数第二项2（n-2）拆分成（n-2）个2相加，以此类推。为什么要这样拆呢？再往下看=（1+2+…+n）n-[(n-1)+(n-2)+…+1]-[(n-2)+(n-3)+…+1]-[(n-3)+(n-4)+…+1]-…-(2+1)-1为什么是这样？请看，这些中括号中（n-1）只有一

3、个，（n-2）有两个，同理，依次递推，便知这个式子与上个式子是相等的，只不过是做了等价变换。仔细观察还会发现，这是一系列的等差数列。因此根据等差数列s=得到，上式：=×n--…--①下面是一个重要的规律的推导了，观察上式会发现一个规律，罗列在下：，，…..，，会发现项数和首项加末项的和都在有规律地逐渐减小，而且项数和首项加末项的和也有固定的关系。那么下面推导一个式子。+===（n-k）由上式可知相邻的两项相加的结果，则将这个结果引入到①中可得上式：=×n-=×n-=+×n=+×n=+×n-设,则得到

4、：因此得出了最后的结论，就是自然数数列的平方和的一个算法。当时想这个式子的推导方法时，我就想着要把它化为熟识的等差数列，并且成功了。但方法并非完全的是普通的代数运算，中间包含了结构构造，以及方程的思想才最终演绎出结论。方法多样，思想美丽而巧妙，或许这才是数学的真正美之所在，让人永感于它隽永的美感。2012年2月18日23时42分河南平顶山