2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习高效演练分层突破：选修4-5 第2讲 不等式的证明 Word版解析版.pdf

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1、[基础题组练]111．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，求证：＋≥4.ab证明：由3是3a与3b的等比中项得3a·3b＝3，即a＋b＝1，要证原不等式成立，a＋ba＋bba只需证＋≥4成立，即证＋≥2成立，abab因为a＞0，b＞0，baba所以＋≥2·＝2，ababba1(当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立)，ab211所以＋≥4.ab11112．求证：＋＋＋…＋＜2.122232n21111证明：因为＜＝－，n2n（n－1）n－1n11111111所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋122232n21×22×3

2、3×4（n－1）×n111111＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＜2.223n－1nn3．(2020·蚌埠一模)已知函数f(x)＝

3、x

4、＋

5、x－3

6、.(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y

7、y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．3－2x，x<0，x<0，0≤x≤3，解：(1)f(x)＝

8、x

9、＋

10、x－3

11、＝3，0≤x≤3，f(x)－5≥x，即或或3－2x≥x＋53≥x＋52x－3，x>3.x>3，2解得x≤－或x∈或x≥8.32x

12、－3≥x＋5，2所以不等式的解集为－∞，－∪[8，＋∞)．3(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)．且m≥3，n≥3，所以m－2>0，2－n<0，即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)

13、x－1

14、＋

15、x－m

16、(m>1)，若f(x)>4的解集是{x

17、x<0或x>4}．(1)求m的值；111m(2)若正实数a，b，c满足＋＋＝，求证：a＋2b＋3c≥9.a2b3c3

18、－2x＋m＋1，x<1解：(1)因为m>1，所以f(x)＝m－1，1≤x≤m，2x－m－1，x>m作出函数f(x)的图象如图所示，－2×0＋m＋1＝4由f(x)>4的解集及函数f(x)的图象得，得m＝3.2×4－m－1＝4111(2)由(1)知m＝3，从而＋＋＝1，a2b3c111a2ba3c2b3ca＋2b＋3c＝(＋＋)(a＋2b＋3c)＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥9，a2b3c2ba3ca3c2b3当且仅当a＝3，b＝，c＝1时“＝”成立．25．(2020·原创冲刺卷)已知定义在R上的函数f(x)

19、＝

20、x＋1

21、＋

22、x－2

23、＋(x－1)2的最小值为s.(1)试求s的值；(2)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝s，求证：a2＋b2＋c2≥3.解：(1)f(x)＝

24、x＋1

25、＋

26、x－2

27、＋(x－1)2≥

28、x＋1

29、＋

30、2－x

31、≥

32、(x＋1)＋(2－x)

33、＝3，即f(x)≥3.当且仅当x＝1，且(x＋1)(2－x)≥0，即x＝1时，等号成立，所以f(x)的最小值为3，所以s＝3.(2)证明：由(1)知a＋b＋c＝3.故a2＋b2＋c2＝(a2＋12)＋(b2＋12)＋(c2＋12)－3≥2a＋2b＋2c－3＝2(a＋b＋c)－3

34、＝3(当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立)．6．设不等式－2＜

35、x－1

36、－

37、x＋2

38、＜0的解集为M，a，b∈M.111(1)证明：3a＋6b＜4；(2)比较

39、1－4ab

40、与2

41、a－b

42、的大小．3，x≤－2，解：(1)证明：记f(x)＝

43、x－1

44、－

45、x＋2

46、＝－2x－1，－2＜x≤1，由－2＜－2x－1＜0－3，x＞1，1111111111111解得－2＜x＜2，即M＝－2，2，所以3a＋6b≤3

47、a

48、＋6

49、b

50、＜3×2＋6×2＝4.11(2)由(1)得a2＜，b2＜，因为

51、1－4ab

52、2－

53、4

54、a－b

55、244＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，故

56、1－4ab

57、2＞4

58、a－b

59、2，即

60、1－4ab

61、＞2

62、a－b

63、.[综合题组练]1．(2020·江西八所重点中学联考)已知不等式

64、ax－1

65、≤

66、x＋3

67、的解集为{x

68、x≥－1}．(1)求实数a的值；(2)求12－at＋4＋t的最大值．解：(1)

69、ax－1

70、≤

71、x＋3

72、的解集为{x

73、x≥－1}，即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集为{x

74、x≥－1}．当1－a2≠0时，不符合题意，舍去．当1－a2＝0，即

75、a＝±1时，x＝－1为方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，经检验a＝－1不符合题意，舍去，a＝1符合题意．综上，a＝1.8(2)(12－t＋4＋t)2＝16＋2（12－t）（4＋t）＝16＋2－t2＋8t＋48，当t＝＝4时，2(12－t＋4＋t)2有最大值，为32.又12－t＋4＋t≥0，所以12－t＋