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时间:2020-08-26
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1、中难提分突破特训(三)1.绿水青山就是金山银山.某山村为做好水土保持,退耕还林,在本村的山坡上种植水果,并推出山村游等旅游项目.为预估今年7月份游客购买水果的情况,随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额.分组如下:[0,20),[20,40),…,[100,120],得到如图所示的频率分布直方图:(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客,称为“水果达人”.填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把
2、握认为“水果达人”与性别有关系?水果达人非水果达人合计男10女30合计nad-bc2参考公式和数据:K2=,a+bc+da+cb+dn=a+b+c+d.临界值表:P(K2≥k)0.1500.1000.0500.0100.0050k2.0722.7063.8416.6357.8790-解(1)x=(10×0.005+30×0.0075+50×0.010+70×0.0125+90×0.010+110×0.005)×20=62.估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元.(2)列联表如下:水果达人非
3、水果达人合计男104050女203050合计3070100100×10×30-20×402K2=≈4.762>3.841,50×50×30×70因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系.π2.已知函数f(x)=2sinxsinx+.3(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)锐角△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,角A的平分线交BC于D,直线x=A是函数f(x)图象的一条对称轴,AD=2BD=2,求边a.π解(1)∵f(x)=2sinxsinx+,313∴f(x)=2sinxsinx·+2sinx
4、cosx·221-cos2x3311=+sin2x=sin2x-cos2x+22222π1=sin2x-+.62πππ令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得262ππ-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.63ππ即函数f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.63(2)∵x=A是函数f(x)图象的一条对称轴,πππkπ∴2A-=+kπ,k∈Z.∴A=+,k∈Z.6232π又△ABC是锐角三角形,∴A=.3π在△ABD中,∠BAD=,BD=2,AD=2,6222π由正弦定理,得=,∴sinB=.∴B=.1sinB
5、242ππ5πππ5π∴C=π--=.∠CDA=+=.34124612∴AC=AD=2.在△ABC中,由正弦定理,BC2得=,∴BC=a=6.sin60°sin45°3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=3MC,O,N,Q分别为BD,AD,PA的中点.(1)求证:OQ∥平面PBC;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.解(1)证明:如图,连接AC,则AC与BD交于点O,易知OQ为△APC的中位线,所以OQ∥PC,
6、又OQ⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,所以OQ∥平面PBC.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA=PD,N为AD的中点,所以PN⊥AD,所以PN⊥平面ABCD,所以PN⊥NB.又四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,所以PN=NB=3,13所以S=×3×3=,△PNB22又BN⊥AD,PN⊥AD,BN∩PN=N,所以AD⊥平面PNB,AD∥BC,所以BC⊥平面PNB,又PM=3MC,所以V=V=三棱锥P-NBM三棱锥M-PBN33133V=××2×=,4三
7、棱锥C-PBN43243即三棱锥P-NBM的体积为.4x=2cosθ,4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),y=2sinθ+2以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程;π2π(2)若直线l,l的极坐标方程分别为θ=(ρ∈R),θ=(ρ∈R),设直线l,l126312与曲线C的交点为O,M,N,求△OMN的面积.x=2cosθ,解(1)由参数方程(θ为参数),y=2sinθ+2得普通方程为x2+(y-2)2=4,所以C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2
8、sin2θ-4ρsinθ=0,即ρ=4sinθ.π(2)不妨设直线l:θ=(ρ∈R)与曲线C的交点为O,M,16π则ρ=
9、OM
10、=4sin=2,M62π又直线l:θ=(ρ∈R)与曲线C的交点为O,N,232ππ则ρ=
11、ON
12、=4sin=23.又∠MON=,N3211所以S=
13、OM
14、·
15、ON
16、=×2×23=23.△OMN225.已知函数f(x)=
17、3x+2
18、.
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