2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 66 Word版含解析.pdf

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1、【课时训练】第66节数学归纳法一、选择题1．(2018德州模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23【答案】D【解析】当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.2．(2018常德一模)数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时，a－an1nn＝2n－1，依次计算a，a，a后，猜想a的表达式是()－1234nA．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3【答案】B【解析】计算出a＝1，a＝4，a＝9，a＝16.可猜想a＝n2.1234n3．(2018

2、沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．4．(2018太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nn2＋n＋2C.D．n2＋n＋12

3、【答案】C【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋nn＋1n2＋n＋2n)＝1＋＝个区域．225．(2018山东菏泽模拟)对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立．即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2＜k2＋3k＋2＋k

4、＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【答案】D【解析】在n＝k＋1时，没用n＝k时的假设，不是数学归纳法．∴从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．二、填空题16．(2018合肥检测)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋2111111－＋…＋＝2＋＋…＋2n时，若已假设n＝k(k≥2，34n－1n＋2n＋4且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．【答案】k＋2【解析】n＝k

5、(k≥2，且k为偶数)的下一个偶数为k＋2，根据数学归纳法的步骤可知，应填k＋2.7．(2018淮北三校联考)设数列{a}的前n项和为S，且对任意nn的自然数n都有：(S－1)2＝aS，通过计算S，S，S，猜想S＝nnn123n________.n【答案】n＋11【解析】由(S－1)2＝S2得：S＝；由(S－1)2＝(S－S)S得：S11122212223n＝；由(S－1)2＝(S－S)S得：S＝.猜想S＝.3332334nn＋1n4＋n28．(2018三亚模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，2则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为_

6、_______．【答案】(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】当n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.三、解答题9．(2018秦皇岛模拟)设数列{a}的前n项和为S，且方程x2－nnax－a＝0有一根为S－1(n∈N*)．nnn(1)求a，a的值；12(2)猜想数列{S}的通项公式，并给出证明．n(1)【解】当n＝1时，方程x2－ax－a＝0有一根为S－1＝a1111

7、－1，1∴(a－1)2－a(a－1)－a＝0，解得a＝.111112当n＝2时，方程x2－ax－a＝0有一根为S－1＝a＋a－1＝a2221221－，2111∴a－2－aa－－a＝0，解得a＝.22222226(2)【证明】由题意知(S－1)2－a(S－1)－a＝0，nnnn当n≥2时，a＝S－S，代入上式整理得nnn－11SS－2S＋1＝0，解得S＝.nn－1nn2－Sn－11由(1)得S＝a＝，112112nS＝a＋a＝＋＝.猜想S＝(n∈N*)．212263nn＋1下面用数学归纳法证明这个结论．①当n＝1时，结论成立．k②假

8、设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即S＝，kk＋111k＋1当n＝k＋1时