【精品】五年级下册数学试题：培优专题讲练：第6讲 巧用容斥原则 人教版.doc

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1、第6讲巧用容斥原理方法和技巧(1)当两个计数部分有重复时，为了不重复地计数，应从它们的和中减去重复部分：nA+nB－nAB。(2)如果采用三种不同的分类标准，性质A的事物有nA个，性质B的事物有nB个，性质C的事物有nC个，那么物体的总个数为（nA+nB+nC）－（nAB+nBC+nCA）+nABC例题精讲A级基础点睛【例1】某班40名同学都在做语文和数学作业，其中，26人做完了语文作业，18人做完了数学作业。现在已有5人两门作业都做完了，求这两门作业都没有做完的有多少名同学。分析与解我们可以先求出做完了

2、语文作业和做完了数学作业的人数和，然后减去两门都做完的5人，得到至少做完一门作业的人数，最后从40名学生中减去至少做完一门作业的同学，就求出了两门作业都没有做完的同学。26+18－5=39（人）40－39=1（人）答：有1人两门作业都没有做完。做一做136个学生在回答两个问题时，答对第一题的有23人，答对第二题的有25人，两题都答对的有14人，问：两题都没有答对的有多少人？【例2】在1到100的自然数中，能被5或被7整除的数共有多少个？解因100÷5=20，故1到100之中有20个数是5的倍数；因100÷

3、7=14余2，故1到100之中有14个数是7的倍数；又因100÷35=2余30，故1到100之间有两个数是35的倍数。注意到一个数是35的倍数时，它既是5的倍数，又是7的倍数，由包含排除法得20+14－2=32，故在1到100之中共有32个数是5的倍数或是7的倍数。做一做2在1到500这500个数中，既不是完全平方米，又不是立方数的数共有多少个？【例3】线段a长120毫米，小明把它平均分成8份后，小娟再把它平均分成12份。这时，线段a上一共有多少分点？解把a平均分成8份时，每份长120÷8=150（毫米）

4、，a上有8－1=7（个）分点；因15×2=30（毫米），15×4＝60（毫米），15×6＝90（毫米），所以，两次平均分线段a时，共有3个分点是重复的。根据包含排除法，a上的分点数一共有7＋11－3＝15（个）做一做3线段AB长18厘米，丁丁把它平均分为9份之后，英英又把它平均分布6份。这时，线段AB内一共有多少个分点？【例4】延秀小学的318名学生到“儿童乐园”活动。其中参加划船的有156人，乘电动飞机的有196人，坐碰碰车的130人；既参加划船又坐碰碰车的人74人，既参加划船又乘电动飞机的有80人，既

5、乘电动飞机又坐碰碰车的有40人。问：三种活动都参加的有多少人？分析与解图1中集合A，B，C两两合成一个集合N，集合N中元素的个数是：集合A，B，C的元素个数之和减去集合A，B，C两两合成的公共部分的元素个数，再加上集合A，B，C的公共部分元素的个数，即N=A+B+C―AB―BC―AC+ABC根据题意，图2中阴影部分表示三种活动都参加的人数，三种活动都参加的人数有318―(156+196+130―80―40―74)=318―288=30(人)答：三种活动都参加的人有30人。做一做4某班50名学生手中分别拿红

6、、黄、蓝三种旗做游戏。已知34人手中有红旗，26人手中有黄旗，18人手中有蓝旗，15人手中有红、黄两种旗，10人手中有黄、蓝两种旗，9人手中有红、蓝两种旗。求手中有红、黄、蓝三种旗的有多少人？B级培优竞赛更上层楼【例5】某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表，求这个班的学生人数。短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球1718156652分析与解先求至少有一个项目达

7、到优秀的学生人数。右图中3个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数。其中A表示三个项目都达到优秀的人数是A=2（人）B表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数是B=6－2=4（人）C表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数是C=5－2=3（人）D表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没能达到优秀的人数是D=62=4（人）E表示只有短跑一项达到优秀的人数是E=17（2+3+4）=8（人）F表示只有游泳一项达到优秀的人数是F=18（（2+4+4）=8（人）G表示只有篮球一项达到优秀的人数是G=

8、15－（2+4+3）=6（人）所以，至少有一个项目达到优秀的人数是2+4+3+4+8+8+6=35（人）还有4个人在三个项目上都没有达到优秀，所以全班人数是35+4=39（人）答：这个班共有学生39人。做一做5某班在一次达标测试中，测得26人短跑达标，30人铅球达标。其中短跑和铅球都达标的有12人，另外有8人这两项都没有达标。问：这个班一共有多少名学生？【例6】50名学生面向老师站成一排，按从左到右的顺序报数：1，2，…，50