第12讲 容斥原理

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1、第12讲容斥原理解题思路：熟悉集合的概念，多画示意图。我们称一些事物的全体为一个集合。集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素例1B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。例2C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝{3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。　　记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是下图a中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B

2、”。记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是下图a中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。图a图b例3设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。例4设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。=｛属于集合I,但不属于集合A的全体元素｝=｛1，9｝我们称

3、属于集合I,但不属于集合A的元素的集合为集合A在集合I中的补集（或余集），如上图b中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.常记作。A∪B=A+B-A∩B这就是关于两个集合的容斥原理：集合A与B的并的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交的元素个数。例5桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.求这两张圆纸片覆盖桌面的面积例6求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。10五年级下学期第12讲例

4、7求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？例8设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。A∪B∪C=A＋B＋C-A∩B-A∩C-B∩C＋A∩B∩C例9某校有学生960人，其中510人订阅“中国少年报”，330人订阅“少年文艺”，120人订阅“中小学数学教学报”；其中有270人订阅两种报刊，有58人订阅三种报刊.问这个学校中没有订阅任何报刊的学生有多少人？例10在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的，乙答错了3道题，甲乙都错的题占题目总数的，求甲乙都答对的题目数。习题

5、1.某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人.问既会游泳又会体操的有多少人？2.在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？　　3.五环图中每一个环内径为4厘米，外径为5厘米.其中两两相交的小曲边四边形（图中阴影部分）的面积相等.已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米.求每个小曲边四边形的面积。　　4.某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：　　问这个班有多少名

6、学生？5．有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？6在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的，乙答对了7道题，甲乙都对的题占题目总数的，求甲答对的题目数。10五年级下学期第12讲 第十二讲容斥原理　　在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。　　在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五

7、（1）班全体同学}就是一个集合。例1B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。例2C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。　　集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符

8、号

9、A

10、、

11、B

12、、

13、C

14、、…表示。　　记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。例3设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1