第六讲容斥原理

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1、第六讲容斥原理——包含与排除一、什么是容斥原理【例1】在1至300的自然数中，（1）能被6整除或能被7整除的数有______个；（2）既不能被6整除又不能被7整除的数有______个。【例2】在1至100的自然数中，（1）能被2或3或5整除的数有____个；（2）不能被2整除，也不能被3整，又不能被5整除的数有_____个。【容斥原理1】如果有S个东西，其中具有性质A的有a个，具有性质B的有b个，既具有性质A又具有性质B的有c个，那么具有性质A或性质B的（即A+B）有a+b-c个，既不具有性质A也不具有性质B的有S——————（a+b-c）个。

2、【容斥原理2】如果有S个东西，其中具有性质A的有a个，具有性质B的有b个，具有性质C的有c个，既具有性质A又具有性质B的有d个，既具有性质A又具有性质C的有e个，既具有性质B又具有性质C的有f个，既具有性质A又具有性质B还具有性质C的有g个，既不具有性质A也不具有性质B也不具有性质C的有s————————（a+b+c-d-e-f+g）个。二、解决包含与排除的一般方法或步骤（1）利用上面公式（20）通过画图【例3】把1至7的自然数填入圆中，使每条直线上3个数的和都等于12。【例4】一张扑克牌面积49平方厘米，两张扑克牌在桌上覆盖的面积是多少？练习

3、：1、某老师工作至今，数学课上了18年，信息技术课上了7年，其中既上数学课又上信息技术课6年，另有一年只做管理工作没上课，请问：这位老师共工作了几年？2、我班有54名学生。其中26人参加了数学竞赛，18人参加了英语竞赛，有7人既参加了数学竞赛又参加了英语竞赛。那么（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）参加竞赛的一共多少人？（3）没有参加竞赛的共有多少人？3、某班有60人爱好数学，50人爱好语文，47人爱好体育，30人既爱好数学又爱好语文，20人既爱好语文又爱好体育，35人既爱好体育又爱好数学，15人三方面都爱好。那么，三方面至少爱好一项的有多少

4、人？其中只爱好数学一项的有多少人？【例5】桌面上有3张纸片。圆形纸片面积是26平方厘米，方形纸片面积是22平方厘米，三角形纸片面积是16平方厘米。圆形与方形纸片重叠部分是7平方厘米，圆形与三角形纸片重叠部分是6平方厘米，方形与三角形纸片重叠部分是5平方厘米，3种纸片的公共部分是2平方厘米。3种纸片一共盖住桌面的面积是多少？练习：1、在1到10000的自然数中，能被5或7整除的数有多少个？不能被5也不能被7整除的数又有多少个？ABC2、某班有学生42人，其中参加运动队的有26人，参加文艺队的有22人，全班每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多

5、少人？3、设A表示30的所有质因数，B表示42的所有质因数，C表示210的所有质因数，D表示6的所有质因数。求（1）A与C的公共部分的数；（2）B与C的公共部分的数；（3）A、B、C、D的公共部分的数；（4）A、B、C、D一共有多少个数？4、如图，A、B、C分别代表面积为55、64、37的3张不同形状的纸片，它们放在一起盖住桌面的面积为117，且A与B、B与C、C与A公共部分面积分别为17、14、13，求A、B、C三张纸片公共部分（即阴影部分）的面积。第七讲抽屉原则【实验】在平面上任意画六点，每三点都不在一条直线上。把每两点连接起来，再用红蓝两

6、色任意地涂抹，同学之间相互比较，多做几次看看，有什么发现？这说明，在任意性下其实往往藏有某种必然性！一、什么是抽屉原则【抽屉原则一】把n+1个东西，任意分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有个东西。【抽屉原则二】把m个东西，任意地分放到n个抽屉里，必有一个抽屉里至少放有K个东西。其中(当n整除m时)或（当n不整除m时）。反之，可得【抽屉原则三】把m个东西，任意分到n个抽屉，必有一只抽屉里至多有个东西。抽屉原则实质性思想是：把一些东西分成若干份，那么必有一份不少于平均数，也必有一份不多于平均数。【利用抽屉原则解决问题的关键】寻找或构造恰当的抽

7、屉及确定要分到抽屉里去的东西。【例1】一年365天，现有366人，则其中至少有两个人生日相同。【例2】抽屉里有10双手套，从中取11只出来，其中至少有两只是完整配对的。【例3】试证：任意五个自然数中，必有两个数的差是4的倍数。【例4】某校有2030名学生。老师让每个同学用2、0、0、3这四个（1）任意写出一个四位数，则至少有______个人写出的四位数相同。（2）任意写出一个自然数（一位数、两位数、三位数、四位数均可），则至少有人写出的数相同。【例5】再证：若是自然数1、2、3、…9的一个任意的排列，则必为偶数。【推广例5】任给n个自然数，再将

8、它们重新排列为，那么必是偶数。【练习】1、设a1、a2、a3为三个任意的整数，b1、b2、b3为a1、a2、a3的任意排列。求证：a1—b1、a2—b