第二十讲 容斥原理

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1、第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使

2、得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。如果被计数的事物有A、B两类，那么，具体公式为:A类或B类元素个数=A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，具体公式为:A类或B类或C类元素个数=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。有了以上的容斥原理,一些看起来头绪很多的问题就可以比较方便地得到解决。[经典例题][例1]五（1）班有学生42人，

3、参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？[分析]我们可以画一个图帮助思考，画两个相交的圆圈:其中一个表示体育代表队，另一个表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的图中有25人，但：30+25=55>42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数。[解答]解：（30+25）-42=13（人）答：两队都参加的有13人。[评注]可能有很多同学还是刚刚接触容斥原理，所以我们用图形来形象地描绘整个

4、问题。当容斥原理的题目做多了之后，很多基本的题目就不再需要一个一个的画图了。但是，当遇到复杂的问题时，图形还是帮助我们理解和解决问题的一个帮手。[举一反三]1、某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？2、六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订《少年报》，有的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？3、森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中

5、共有80种鸟类，狮子大王又派大象去统计兽类的种数，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我应该算兽类。”大家又把蝙蝠算为兽类，统计出森林中共有70种兽类。最后狮子大王问：森林中共有鸟类和兽类多少种？狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。”听了上面的故事，请你说说狐狸军师这样统计对吗？为什么，正确的答案应该是多少种呢？[思路拓展][例2]在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪

6、碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？[分析]：根据题意画图。[解答]方法一：（人）方法二：（人）答：共有10个小朋友去了冷饮店。[评注]这道题目变成了三种事件，我们仍然可以用图形来简单的描述。只要同学们能够明白每一种人的数量应该填在哪个空位里，题目就变得非常容易了。同学们还要注意的一点是，最外圈的6，6，4三个数，并不是指的数字所在范围里的人数，而是指的整个圆里（即买了某种冷饮而并非只买这种冷饮）的人数。另外，方法二里，为什么要减去1×2，同学们能明白吗？[举一反三]1，三年级一班的同学们报名参加趣味体育运动

7、会，比赛内容共三项，分别是跳绳、拍球跑和踢毽子，每个人至少报了一项。报跳绳的有15人，报拍球跑的有18人，报踢毽子的有20人，同时包跳绳和拍球跑的有8人，同时报跳绳和踢毽子的有5人，没有报了拍球跑和踢毽子，但是没报跳绳的同学。三样都报的有2人。那么三年级一班有多少名同学呢？2，班里组织了一次语数外三科的小测验，每名同学都至少有一门得满分，但是没有人拿到三个满分。语文得满分的有10人，数学得满分的有20人，外语得满分的有25人，语文数学都得满分的有6人，数学外语都得满分的有12人，语文外语都得满分的有2人。那么全班一共有多少人？3，一

8、次中、美、俄三方的学术交流会上，有28人会说中文，有25人会说英文，有20人会说俄文，有13人会说中文和英文，有10人会说中文和俄文，有6人会说英文和俄文，仅有大会组织者一人三种语言全会。那么这次交流会一共有多少人参与？[例3]某班同